1. Высказывания

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «7 больше 3» сообщает утверждение, которое можно проверить. Это понятие нужно, чтобы отличать проверяемые утверждения от вопросов и просьб.

Истинное высказывание соответствует действительности. Например, математическое утверждение «12 делится на 3» истинно, потому что 12 : 3 = 4, а бытовое «У человека две руки» обычно соответствует реальности. Такое определение помогает правильно подтверждать факты.

Ложное высказывание не соответствует действительности. Например, «9 меньше 4» — ложное утверждение, но оно всё равно является высказыванием. Его можно проверить и установить, что оно неверно.

Значение истинности — ответ на вопрос о высказывании: «истина» или «ложь». У обычного высказывания значение одно, потому что оно сообщает один определённый факт, который либо соответствует действительности, либо нет. Незнание ответа не меняет самого значения.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли предложение высказыванием, сначала найдите в нём утверждение. Затем спросите себя, можно ли установить, соответствует оно действительности или нет. Если такой ответ возможен, перед нами высказывание, даже если проверка пока не выполнена.

Вопросительные предложения не являются высказываниями, потому что они не утверждают факт, а запрашивают информацию. Например, в вопросе «Который час?» ещё ничего не сказано о времени. Побудительные предложения тоже не имеют значения истинности: просьбу «Открой тетрадь» нельзя назвать истинной или ложной.

Истинность математического высказывания устанавливают проверкой. Можно выполнить вычисление, сравнить числа или применить известное правило: например, равенство 6 + 4 = 10 подтверждается сложением. Если результат совпал с утверждением, оно истинно, а если не совпал — ложно.

Ложное утверждение не перестаёт быть высказыванием, потому что его всё равно можно оценить. Фраза «5 больше 11» сообщает определённое утверждение, и после сравнения чисел становится понятно, что оно ложно. Значит, высказывание не обязано быть правильным.

Один и тот же смысл можно выразить разными словами. Фразы «8 больше 5» и «5 меньше 8» построены по-разному, но обе сообщают один факт и имеют значение «истина». При перефразировании нужно проверять, сохранилось ли утверждение, а не только отдельные слова.

Предложения и их значение истинности

Пользуйтесь таблицей в два шага: сначала определите, сообщает ли предложение утверждение, а затем проверьте его содержание. Для высказывания запишите «истина» или «ложь». Для вопроса и побуждения значение истинности не указывают.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие предложения являются высказываниями: «7 больше 3», «Который час?», «Открой тетрадь». Нужно проверить не правильность ответа, а сам тип каждого предложения. Главное — выяснить, можно ли назвать его истинным или ложным.

1. «7 больше 3» сообщает утверждение о числах. Его можно проверить сравнением, поэтому это высказывание.
2. «Который час?» задаёт вопрос и не утверждает определённого факта. Это не высказывание.
3. «Открой тетрадь» является просьбой или приказом. Его выполнение возможно, но истинность установить нельзя.

Ответ: высказывание только «7 больше 3».

Задача 2. Установите, истинны или ложны высказывания: «12 делится на 3», «9 меньше 4», «У квадрата четыре стороны». Каждое утверждение сопоставим с известным фактом или выполним проверку. Так мы не будем судить о нём только по внешнему виду.

1. 12 : 3 = 4 без остатка, значит, первое высказывание истинно.
2. При сравнении 9 и 4 получаем 9 больше 4, поэтому второе высказывание ложно.
3. У квадрата четыре стороны по определению этой фигуры, значит, третье высказывание истинно.

Ответ: первое и третье высказывания истинны, второе ложно.

Задача 3. Составим три высказывания о числах 5 и 8: одно истинное, одно ложное и одно, для которого нужны вычисления. Например, «8 больше 5» — готовое истинное утверждение, а «5 больше 8» — ложное. Для третьего возьмём «5 + 8 = 13» и проверим его сложением.

1. Сравниваем 8 и 5: 8 больше 5, поэтому первое высказывание истинно.
2. Сравниваем 5 и 8: 5 не больше 8, поэтому второе высказывание ложно.
3. Вычисляем 5 + 8 = 13, значит, третье высказывание тоже истинно.

Ответ: «8 больше 5» — истина, «5 больше 8» — ложь, «5 + 8 = 13» — истина после вычисления.

Типичные ошибки

Иногда высказыванием считают любое предложение. Так происходит потому, что ученик смотрит на наличие слов, а не на смысл. Проверьте себя вопросом: можно ли ответить именно «истина» или «ложь», а не дать сведения или выполнить действие?

Другая ошибка — считать ложное утверждение не высказыванием. Его допускают, потому что слово «высказывание» ошибочно связывают только с правильным ответом. Если ложность можно установить, предложение всё равно является высказыванием.

Нельзя путать правдоподобие с истинностью. Утверждение может звучать убедительно, но нуждаться в вычислении или сравнении. Проверяйте математические факты по правилам, а не по впечатлению.

Неизвестный пока ответ не означает отсутствия значения истинности. Высказывание уже истинно или ложно, даже если вы ещё не успели это выяснить. Выполните проверку и определите имеющееся значение.

Связь с другими темами

До изучения высказываний полезно понимать смысл обычных предложений и выполнять простые арифметические действия. Это позволяет отличать утверждение от вопроса или просьбы. Навык проверки числовых фактов станет основой для дальнейших рассуждений.

Понятие высказывания понадобится при изучении логических операций, рассуждений и доказательств. В этих темах рассматривают, как соединять утверждения и делать выводы. Поэтому точное определение истинности особенно важно.

Различение истинных и ложных утверждений помогает проверять решения задач и математические равенства. Если результат не совпадает с условием, нужно найти ошибку в рассуждении или вычислениях. Такой контроль делает решение надёжнее.

Что запомнить

• Высказывание — предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
• У вопроса нельзя определить значение истинности.
• Просьба и приказ не являются высказываниями.
• Высказывание может быть истинным или ложным.
• Ложное утверждение всё равно является высказыванием.
• Истинность математического утверждения проверяют по правилам математики.