1.6-1.9. Высказывания

Определения и обозначения

Высказывание – это утверждение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Это утверждение должно быть четким и не допускать различных толкований. Например, утверждение “Солнце – звезда” является высказыванием, так как мы точно знаем, что оно истинно.

Истинное высказывание – это высказывание, которое соответствует действительности. Его можно подтвердить фактами или логическими рассуждениями. Например, “Вода кипит при 100 градусах Цельсия” – истинное высказывание.

Ложное высказывание – это высказывание, которое не соответствует действительности. Оно может быть опровергнуто фактами или логическими рассуждениями. Например, “Земля плоская” – ложное высказывание.

Простое высказывание – это высказывание, которое состоит из одного утверждения и не содержит логических связок, таких как “и”, “или”, “не”. Оно является базовым элементом для построения более сложных высказываний. Примеры: “Небо голубое” или “Число 5 – простое”.

Как это устроено

Чтобы понять, что является высказыванием, а что нет, нужно всегда задавать себе вопрос: можно ли это утверждение проверить на истинность или ложность? Помните, что высказывание должно быть четким и не допускать двусмысленности. Например, фраза “Сегодня хорошая погода” – не является высказыванием, так как понятие “хорошая погода” субъективно и зависит от личных предпочтений.

Важно понимать, что высказывание может быть только истинным или только ложным, но не одновременно и тем, и другим. Это принцип исключённого третьего, который лежит в основе логического мышления. Если утверждение не соответствует действительности, оно ложно. Если соответствует – истинно. Не существует промежуточных вариантов.

Не все предложения являются высказываниями. Вопросы (“Какая сегодня дата?”), восклицания (“Как красиво!”) и приказы (“Закрой дверь!”) не могут быть истинными или ложными. Они выражают запрос информации, эмоции или побуждение к действию, а не утверждение факта.

Простые высказывания – это строительные блоки для создания более сложных. Они позволяют нам выражать простые факты и идеи. Например, из простых высказываний “Солнце светит” и “На улице тепло” можно составить сложное высказывание “Солнце светит, и на улице тепло”.

Истинность высказываний может зависеть от переменных. Если в высказывании присутствует переменная, то его истинность определяется значением этой переменной. Например, высказывание “x < 10” истинно, если x равно 5, но ложно, если x равно 12. Значение переменной должно быть определено, иначе мы не можем судить об истинности высказывания.

Истинность и Ложность Высказываний

Эта таблица демонстрирует примеры высказываний и их истинность или ложность. Помните, что каждое высказывание может быть только истинным или ложным, а не и тем, и другим.

Разбор задач

Задача 1: Определите, является ли высказывание ‘Сегодня вторник’ истинным, если сегодня среда?

1. Анализ условия: Мы знаем, что сегодня среда.
2. Анализ высказывания: Высказывание утверждает, что сегодня вторник.
3. Определение истинности: Поскольку сегодня среда, а не вторник, высказывание не соответствует действительности.
4. Вывод: Высказывание ‘Сегодня вторник’ ложно.

Ответ: Ложно.

Задача 2: Является ли утверждение ‘x + 1 = 3’ высказыванием, если x неизвестно?

1. Анализ условия: Значение x нам неизвестно.
2. Анализ высказывания: Высказывание содержит переменную x.
3. Определение истинности: Если x = 2, то высказывание истинно. Если x ≠ 2, то высказывание ложно.
4. Вывод: Так как истинность высказывания зависит от значения x, а нам оно известно, утверждение является высказыванием.

Ответ: Да, это высказывание.

Задача 3: Определите истинность высказывания: ‘Если идет дождь, то земля мокрая’?

1. Анализ условия: Утверждение предполагает причинно-следственную связь.
2. Анализ высказывания: Если идет дождь, то земля должна быть мокрой.
3. Определение истинности: Если дождь действительно идет, то обычно земля становится мокрой.
4. Вывод: Высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

Типичные ошибки

Ошибка 1: Считают, что любое утверждение является высказыванием. Например, вопросы и восклицания не являются высказываниями. Эта ошибка возникает из-за непонимания того, что высказывание должно быть утверждением, которое можно оценить на истинность или ложность.

Ошибка 2: Не могут определить истинность или ложность высказывания, содержащего переменные. Эта ошибка часто связана с тем, что не учитывается конкретное значение переменной, от которого зависит истинность высказывания.

Ошибка 3: Смешивают понятия истинности и логической возможности. Высказывание либо истинно, либо ложно, независимо от того, возможно ли его выполнение на практике. Например, утверждение «Существуют единороги» – ложно, даже если кто-то верит в их существование.

Ошибка 4: Забывают, что истинность высказывания может зависеть от контекста. Например, фраза “Сегодня тепло” может быть истинной в один день и ложной в другой, в зависимости от времени года и личных ощущений.

Связь с другими темами

Для успешного изучения темы высказываний необходимо знать основы логики и математических обозначений. Эти знания помогут вам понимать, как строятся логические рассуждения и как правильно записывать математические утверждения.

Понимание высказываний является фундаментом для изучения логических операций, таких как “и”, “или”, “не”, а также для построения таблиц истинности и разработки алгоритмов. Все эти темы тесно связаны с темой высказываний и позволяют строить сложные логические конструкции.

Что запомнить

• Высказывание – это утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
• Истинность высказывания зависит от его соответствия действительности.
• Простое высказывание не содержит логических связок.
• Переменные могут влиять на истинность высказываний.
• Вопросы, восклицания и приказы не являются высказываниями
• Ложные высказывания так же важны, как и истинные, для понимания логики.
• Истинность или ложность высказывания определяются объективно, а не субъективным мнением.