1. Высказывания

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Снег белый» сообщает факт, а «Открой окно» побуждает к действию, поэтому оценить его как истинное или ложное нельзя. Вопрос «Который час?» тоже не является высказыванием: он просит сообщить ответ, а не утверждает что-либо.

Истинное высказывание — высказывание, содержание которого соответствует действительности или математическим фактам. Например, фраза «У квадрата четыре стороны» истинна, потому что это свойство квадрата. Понятие истинности нужно, чтобы отличать верные утверждения от неверных и обосновывать ответы.

Ложное высказывание — высказывание, содержание которого не соответствует действительности или математическим фактам. Например, фраза «Число 12 делится на 5» ложна: при делении получается не целое число. Это всё равно высказывание, потому что его истинность можно проверить; понятие ложности помогает оценивать утверждения, а не отбрасывать их.

Как это устроено

Чтобы решить, является ли фраза высказыванием, сначала выясни, утверждает ли она что-либо. Затем спроси себя, можно ли проверить утверждение и получить ответ «истинно» или «ложно». Если фраза только спрашивает или предлагает действие, оценить её таким способом нельзя. Эта проверка помогает не путать разные виды предложений.

Одни и те же слова могут работать по-разному в зависимости от того, что делает говорящий. «Ты решил пример» сообщает утверждение, а «Ты решил пример?» задаёт вопрос, хотя слова почти те же. В первом случае можно проверить, верно ли сообщение, во втором требуется ответ. Поэтому важно смотреть не только на отдельные слова, но и на смысл всей фразы.

Математическую истинность проверяют по правилам, определениям и вычислениям, потому что впечатление может подвести. Например, утверждение о делимости проверяют делением, а утверждение о сторонах фигуры — её определением. Проверка даёт основание для ответа, а не просто догадку. Если вычисление показывает, что утверждение неверно, оно будет ложным высказыванием.

Ложность не мешает фразе быть высказыванием. Главное — можно ли установить её истинность, а не совпал ли результат проверки с действительностью. Например, «2 + 2 = 5» утверждает конкретный факт, поэтому его можно проверить и признать ложным. Если исключать все неверные фразы, пришлось бы ошибочно считать их вопросами или просьбами.

В предложении с неизвестным, например с буквой x, истинность может зависеть от того, какое число поставить вместо буквы. Пока значение не задано, фразы «x больше 8» и «x + 2 = 10» нельзя оценить как истинные или ложные. После подстановки можно проверить новое утверждение. Значит, для оценки сначала нужны дополнительные условия о неизвестном.

Как распознавать и оценивать предложения

Сравни вид предложения, пример и возможность проверить его истинность. В таблице слово «да» означает, что перед нами утверждение с определённым значением истинности; «нет» — что фраза не является высказыванием или её значение пока не установлено. Для предложения с неизвестным сначала понадобится дополнительное условие.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие фразы являются высказываниями: «7 больше 5», «Сколько будет 7 + 5?», «Откройте тетради». Для каждой фразы важно выяснить, сообщает ли она утверждение. Затем проверим, можно ли присвоить ей значение «истинно» или «ложно».

1. Фраза «7 больше 5» утверждает, что одно число больше другого. Это можно проверить сравнением: 7 действительно стоит правее 5 на числовом ряду.
2. «Сколько будет 7 + 5?» — вопрос, который просит назвать результат. Сам вопрос не утверждает, что результат равен какому-то числу.
3. «Откройте тетради» побуждает к действию. Выполнить просьбу можно или не выполнить, но это не делает её истинной или ложной.

Ответ: «7 больше 5» — истинное высказывание. Вопрос и просьба высказываниями не являются, потому что их нельзя оценить как истинные или ложные.

Задача 2. Укажите, истинны или ложны фразы «Число 12 делится на 3», «Число 12 делится на 5», «У квадрата четыре стороны». Все три фразы что-то утверждают, поэтому являются высказываниями. Проверим каждое по вычислению или известному математическому факту.

1. Выполним деление 12 на 3: получаем 4 без остатка. Значит, первое утверждение соответствует правилу делимости.
2. Проверим деление 12 на 5: 5 × 2 = 10, а 5 × 3 = 15, поэтому 12 на 5 нацело не делится.
3. По определению у квадрата четыре стороны. Следовательно, третья фраза соответствует математическому факту.

Ответ: «12 делится на 3» — истинное высказывание, а «12 делится на 5» — ложное. «У квадрата четыре стороны» — истинное высказывание; каждое из них является высказыванием независимо от результата проверки.

Задача 3. Рассмотрите фразы «x больше 8» и «x + 2 = 10», если значение x не задано, а затем оцените их при x = 8. Пока мы не знаем x, истинность первого выражения может измениться вместе с числом. Подставим данное значение и проверим оба утверждения.

1. Без значения x нельзя установить, больше ли оно 8. Поэтому первое предложение пока не имеет определённой оценки.
2. Без значения x нельзя проверить и равенство x + 2 = 10. Его истинность также зависит от подставленного числа.
3. При x = 8 получаем утверждение «8 больше 8». Оно ложно, потому что числа равны.
4. Второе предложение превращается в 8 + 2 = 10. Равенство верно, значит, полученное утверждение истинно.

Ответ: без значения x истинность обеих фраз не установлена. При x = 8 фраза «x больше 8» ложна, а «x + 2 = 10» истинна.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вопрос или просьбу высказыванием. Так происходит, когда ученик замечает слова, похожие на обычное сообщение, но не проверяет, что делает вся фраза. Спроси себя: можно ли сказать о ней «это истинно» или «это ложно»? Если фраза спрашивает или побуждает действовать, это не высказывание.

Ошибка: называть ложную фразу не высказыванием. Её допускают, потому что слово «высказывание» иногда ошибочно связывают только с верным сообщением. Проверь, утверждает ли фраза конкретный факт и можно ли его проверить. Если да, это высказывание, даже когда проверка показывает ложь.

Ошибка: определять истинность по впечатлению, не используя правило или вычисление. Знакомая фраза может казаться верной, хотя проверка покажет обратное. Чтобы проверить себя, запиши нужное вычисление или вспомни определение, на которое опираешься. Например, делимость лучше проверять делением, а не внешним видом числа.

Ошибка: считать предложение с неизвестным истинным или ложным до задания его значения. Это происходит, когда букву воспринимают как какое-то заранее известное число. Найди, указано ли значение неизвестного в условии. Если его нет, нельзя оценить фразу; если оно задано, подставь число и проверь получившееся утверждение.

Связь с другими темами

До изучения высказываний полезно уметь читать математические предложения, сравнивать числа и выполнять простые вычисления. Эти навыки нужны, чтобы проверять утверждения на конкретных примерах и не полагаться на догадку. Позже понятие истинности поможет разбирать логические связки, отрицание и математические рассуждения.

Умение отличать утверждение от вопроса и условия помогает правильно понимать формулировки задач. При решении нужно видеть, что дано, что требуется найти и какие утверждения уже можно проверить. Это умение пригодится и при доказательстве выводов: каждый шаг рассуждения должен быть понятным и обоснованным.

Что запомнить

• Высказывание сообщает утверждение, которое можно оценить как истинное или ложное.
• Вопросы и побуждения не являются высказываниями.
• Высказывание бывает истинным или ложным.
• Ложное утверждение всё равно является высказыванием.
• Математическую истинность проверяют вычислением или известным правилом.
• Для оценки предложения с неизвестным сначала нужно задать его значение.