2. Общие утверждения

Определения и обозначения

Общее утверждение — мысль, которая относится сразу ко всем объектам некоторого множества. На его общий смысл часто указывают слова «все», «каждый» и «любой»: например, «каждый квадрат имеет четыре стороны». Эти слова помогают заметить, что речь не об одном выбранном примере, а о целом множестве. Поэтому нужно проверить, какие именно объекты охватывает утверждение.

Область рассмотрения — множество объектов, о которых говорится в утверждении. Например, в предложении «каждое число больше нуля» неясно, имеются ли в виду натуральные, целые или любые числа. Если допустить отрицательные числа, утверждение окажется неверным, а для натуральных чисел — верным. Указанная область делает смысл высказывания точным и помогает правильно его проверять.

Истинное утверждение верно для всех объектов заданной области, а ложное утверждение не выполняется хотя бы для одного из них. Ложность не означает, что утверждение неверно во всех случаях: исключение может быть только одно. Такое различие нужно, чтобы не путать правило с отдельными примерами. Проверять утверждение следует именно в пределах выбранной области.

Контрпример — объект из области рассмотрения, для которого общее утверждение оказывается неверным. Например, число 2 опровергает фразу «каждое чётное число делится на 4»: оно чётное, но на 4 не делится. Контрпример нужен, чтобы показать, что правило не подходит всем объектам. Объект вне области для этого не годится.

Как это устроено

Распознать общее утверждение помогают слова «все», «каждый» и «любой», потому что они распространяют мысль не на один объект, а на всё множество. Но одного такого слова недостаточно: нужно ещё понять, о каких предметах или числах говорится. Например, «любой делится на 2» не сообщает, что именно должно делиться. Когда область ясна, можно понять, какие объекты требуется проверять.

Область рассмотрения важна, потому что истинность зависит от того, какие объекты в неё включены. Фраза «каждое число больше нуля» верна для натуральных чисел, но неверна для целых: среди целых есть −1. Если поменять область, меняется набор объектов, к которым относится правило, а значит, может измениться и ответ о его истинности. Поэтому в задаче сначала уточняют область, а уже потом делают вывод.

Чтобы подтвердить общее утверждение, нужно обосновать его для каждого объекта области. Проверка нескольких чисел показывает только то, что правило сработало в выбранных случаях: среди непроверенных объектов всё ещё может найтись исключение. Для конечного и перечисленного множества иногда можно рассмотреть каждый объект, но для большого или бесконечного множества обычно требуется рассуждение, которое охватывает их все. Так примеры помогают разобраться, но не заменяют доказательство.

Опровергнуть общее утверждение проще: достаточно одного контрпримера. Нужно выбрать объект из области, убедиться, что он подходит под названное условие, и проверить, что заключение для него неверно. Например, чтобы опровергнуть фразу «каждое чётное число делится на 4», подойдёт 2: это чётное число, но при делении на 4 получается остаток. Одного такого случая уже достаточно, чтобы правило не было общим.

Общее утверждение отличается от фразы об одном объекте, потому что описывает сразу множество случаев. «Число 8 делится на 2» относится к конкретному числу, а «каждое чётное число делится на 2» — к целой области чётных чисел. Вопрос, например «Делится ли 8 на 2?», не утверждает, что ответ верен для всех объектов. Команда, например «Проверь делимость числа 8», тоже просит выполнить действие, а не сообщает факт.

Как проверять общее утверждение

Пользуйся таблицей по порядку: сначала установи область, затем реши, чем проверяешь утверждение — обоснованием для всех объектов или поиском исключения. Если проверено лишь несколько примеров, окончательный вывод о всём множестве делать нельзя. Найденный контрпример сразу показывает, что утверждение ложно.

Разбор задач

Задача 1. Рассмотри утверждение: «Каждое натуральное число больше нуля». Укажи область рассмотрения и реши, истинно ли утверждение.

1. Слова «каждое натуральное число» показывают, что утверждение относится ко всем натуральным числам.
2. Значит, область рассмотрения — натуральные числа. По смыслу понятия натуральных чисел это числа для счёта: 1, 2, 3 и так далее.
3. Каждое число из этого ряда больше нуля. Поэтому подходящий объект, который нарушал бы утверждение, найти нельзя.

Ответ: область рассмотрения — натуральные числа; утверждение истинно.

Задача 2. Проверь утверждение: «Каждое чётное число делится на 4». Если оно неверно, найди контрпример.

1. Слова «каждое чётное число» задают область: чётные числа. Чтобы опровергнуть фразу, достаточно найти среди них число, которое на 4 не делится.
2. Возьмём число 2. Оно чётное, потому что делится на 2, значит, входит в указанную область.
3. Число 2 на 4 без остатка не делится. Следовательно, правило нарушается хотя бы для одного объекта и не может быть истинным для всех.

Ответ: утверждение ложно, контрпример — число 2.

Задача 3. Сравни утверждения «Любое число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 5» и «Любое число, оканчивающееся цифрой 5, делится на 10». Для каждого укажи область рассмотрения и установи истинность.

1. Для первого правила область — числа, запись которых оканчивается цифрой 0. Любое такое число делится на 10, а значит, и на 5. Поэтому первое утверждение истинно.
2. Для второго правила область — числа, запись которых оканчивается цифрой 5. Проверим подходящий объект: число 15 оканчивается цифрой 5, но при делении на 10 не делится без остатка.
3. Число 15 принадлежит области второго утверждения и опровергает его. Не нужно проверять все числа, оканчивающиеся на 5: одного контрпримера достаточно.

Ответ: первое утверждение истинно, второе ложно; контрпример ко второму — 15.

Типичные ошибки

Считать правило доказанным по нескольким примерам. Например, проверка чисел 2, 4 и 6 не показывает, что правило верно для всех чётных чисел. Так ошибаются, потому что подходящие случаи кажутся убедительными. Проверь себя: ты обосновал правило для любого объекта или только перечислил несколько примеров?

Использовать объект вне области как контрпример. Такой объект не проверяет утверждение, потому что оно может вообще к нему не относиться. Ошибка возникает, когда область не уточнили перед поиском исключения. Проверь себя: подходит ли найденный объект под условия и входит ли он в указанное множество?

Думать, что ложное утверждение неверно для каждого объекта. На самом деле оно может подходить многим объектам, но одного исключения достаточно для ложности. Ошибку допускают, смешивая слова «ложное» и «неверно всегда». Проверь себя: нашёл ли ты хотя бы один случай, в котором правило нарушено, и не делаешь ли вывод о всех остальных случаях?

Не замечать слова «все», «каждый», «любой». Тогда общее правило принимают за высказывание об одном выбранном примере и проверяют только его. Это происходит, если читать предложение невнимательно. Проверь себя: спроси, говорится ли в нём об одном объекте или обо всех объектах заданной области.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать утверждения, нужно отличать натуральные числа от других чисел и понимать, к каким объектам относится фраза. Понятие делимости помогает проверять свойства чисел и подбирать к ним контрпримеры. Например, знание признаков делимости позволяет быстро проверить, подходит ли выбранное число для опровержения правила.

Умение формулировать и проверять общие утверждения нужно не только в арифметике. Позже оно поможет рассуждать о свойствах чисел и геометрических фигур. Если научиться замечать область и искать исключения, будет проще понимать, почему правило верно или где оно перестаёт работать.

Что запомнить

• Общее утверждение относится ко всем объектам заданной области.
• Сначала выясни, какие объекты рассматриваются.
• Несколько удачных примеров не доказывают общее утверждение.
• Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно одного контрпримера.
• Контрпример должен принадлежать области рассмотрения.
• Проверяй каждое утверждение отдельно.