"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Общее утверждение говорит о каждом объекте из выбранного множества: например, о всех натуральных числах или обо всех прямоугольниках. Такие высказывания помогают описывать правила и свойства, которые должны подходить не к одному случаю, а ко всем объектам. Чтобы проверить утверждение, нужно точно знать, о каком множестве идёт речь. Для опровержения достаточно найти один подходящий контрпример, а несколько удачных проверок ещё не доказывают, что утверждение верно всегда.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общее утверждение — высказывание, которое относится ко всем объектам некоторого множества. Слова «все», «каждый» и «любой» показывают, что речь идёт не об одном выбранном объекте, а о каждом объекте из указанной группы. Например, фраза «все числа, кратные 10, оканчиваются цифрой 0» говорит о каждом числе, кратном 10. Это понятие нужно, чтобы отличать общее правило от сообщения об отдельном случае.
Истинное общее утверждение — утверждение, которое верно для каждого объекта рассматриваемого множества. Недостаточно, чтобы подходили только некоторые объекты: свойство должно выполняться у всех без исключения. Например, каждый квадрат имеет четыре стороны, если рассматриваем множество квадратов. Понимание этого определения помогает точно установить, что именно нужно обосновать.
Ложное общее утверждение — утверждение, для которого найдётся хотя бы один объект, не обладающий названным свойством. Даже если свойство подходит многим объектам, одного исключения достаточно, чтобы слова «все» оказались неверными. Например, не каждый прямоугольник является квадратом. Это определение подсказывает, что для проверки ложного утверждения стоит искать неподходящий объект.
Контрпример — объект, на котором общее утверждение оказывается неверным. Так, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см — контрпример к фразе «все прямоугольники являются квадратами». Контрпример должен принадлежать тому множеству, о котором говорится, иначе он не проверяет утверждение. Это понятие нужно, чтобы коротко и убедительно опровергать неверные общие правила.
Сначала нужно уточнить, какие именно объекты рассматриваются. Например, фраза «все числа заканчиваются цифрой 0» неверна для натуральных чисел, но утверждение «все числа, кратные 10, заканчиваются цифрой 0» верно. Причина в том, что во втором случае множество ограничено числами, которые делятся на 10 без остатка. Если множество не названо, нельзя точно решить, какие объекты нужно проверять и к кому относится утверждение.
Общее утверждение похоже на обещание, что свойство найдётся у каждого объекта множества. Поэтому для его истинности нельзя пропустить ни один случай: свойство должно выполняться у всех объектов. Если множество небольшое и его объекты можно перечислить, проверяют каждый из них. Когда объектов очень много или их бесконечно много, обычно нужно объяснить, почему свойство подходит любому объекту, а не перебирать примеры.
Несколько удачных примеров не доказывают общее утверждение, потому что среди непроверенных объектов может оказаться исключение. Например, если первые пять чисел из какого-то ряда обладают свойством, это ещё не означает, что оно есть у шестого и у всех следующих. Примеры помогают понять правило и проверить отдельные случаи, но не заменяют доказательства для всего множества. Поэтому при проверке важно различать «я проверил несколько объектов» и «я обосновал, что подходит каждый объект».
Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно одного контрпримера. Это следует из смысла слов «все» и «каждый»: если хотя бы один объект не обладает свойством, утверждение уже не верно для всех. Например, чтобы опровергнуть фразу «все прямоугольники — квадраты», не нужно перебрать все прямоугольники. Достаточно предъявить один прямоугольник, у которого соседние стороны имеют разную длину.
Отрицание общего утверждения строят не словами «ни один не обладает свойством», а словами «хотя бы один не обладает свойством». Причина в том, что общее утверждение проверяется каждым объектом, а для его опровержения достаточно единственного исключения. Например, отрицание фразы «все натуральные числа чётные» — «существует хотя бы одно натуральное число, которое нечётное». Так легко не перепутать отрицание с гораздо более сильной фразой, будто свойство неверно у всех объектов.
Сначала установи множество, затем реши, что нужно проверить, и выбери подходящий вывод. Таблица помогает отличить доказательство общего правила от его опровержения и правильно записать отрицание.
| Ситуация | Что требуется проверить | Какой вывод сделать |
|---|---|---|
| Утверждение истинно | Выполняется ли свойство у каждого объекта множества | Свойство верно для всех объектов |
| Утверждение ложно | Есть ли хотя бы один объект без названного свойства | Общее утверждение неверно |
| Найден контрпример | Принадлежит ли объект указанному множеству и не обладает ли свойством | Контрпример опровергает утверждение |
| Утверждение отрицается | Можно ли указать хотя бы один объект, для которого свойство не выполняется | Формулируется: «существует хотя бы один такой объект» |
Задача 1. Верно ли, что все числа, кратные 10, оканчиваются цифрой 0? Нужно проверить свойство не для произвольной группы чисел, а именно для чисел, кратных 10. Решение: сначала вспомним, что число, кратное 10, делится на 10 без остатка. При делении на 10 последняя цифра числа убирается, поэтому число должно оканчиваться нулём. Это верно для любого числа из указанного множества, а не только для нескольких примеров.
Задача 2. Опровергните утверждение: «Все прямоугольники являются квадратами». В утверждении говорится о каждом прямоугольнике, поэтому для опровержения нужно найти прямоугольник, который квадратом не является. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны, а у обычного прямоугольника соседние стороны могут быть разной длины. Подойдёт прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см: у него четыре прямых угла, но все стороны не равны. Он принадлежит множеству прямоугольников и не обладает свойством квадрата.
Задача 3. Верно ли, что для любого натурального числа n число n + 1 чётное? Если нет, сформулируйте отрицание. Здесь проверяется каждое натуральное значение n. Несколько значений могут подсказать, что утверждение неверно: при чётном n сумма n + 1 нечётная, но для опровержения хватит одного такого случая. Возьмём n = 2: это натуральное число, а n + 1 = 3, и 3 нечётно. Значит, утверждение не выполняется для любого натурального n; его отрицание должно сообщать о существовании хотя бы одного исключения.
Ошибка: считать общее утверждение истинным после проверки нескольких примеров. Это случается, потому что проверенные случаи кажутся похожими и создают впечатление, что правило подходит всегда. Но среди остальных объектов может быть исключение, поэтому примеры сами по себе не доказывают утверждение. Проверь себя: спроси, обосновано ли свойство для каждого объекта, а не только для выбранных.
Ошибка: опровергать общее утверждение примером, который ему соответствует. Иногда ученик находит объект с нужным свойством и считает, что проверка окончена. Такой пример лишь подтверждает один случай и не показывает, что правило неверно. Для самопроверки выясни, действительно ли выбранный объект не обладает указанным свойством; если обладает, это не контрпример.
Ошибка: не указывать множество объектов. Её допускают, когда считают, что слова «все числа» или «все фигуры» всегда и так понятны. Но разные множества дают разные ответы: число, кратное 10, — не то же самое, что любое натуральное число. Перед проверкой назови множество своими словами и убедись, что найденный пример принадлежит именно ему.
Ошибка: считать, что отрицание означает «свойство неверно для всех». Так происходит, если забыть, что исходная фраза говорит о каждом объекте, а ошибку в ней показывает всего один объект. Например, отрицание «все числа чётные» не утверждает, что все числа нечётные. Проверь формулировку: в правильном отрицании должна быть мысль «хотя бы один объект не обладает свойством».
Чтобы разбирать общие утверждения, нужно уметь отличать математическое высказывание от вопроса или команды и понимать, истинно оно или ложно. Контрпримеры помогают проверять правила и закономерности в арифметике и геометрии: один подходящий объект может обнаружить ошибку в общем правиле. Работа с утверждениями подготавливает к изучению свойств чисел и фигур, а также к доказательствам. В дальнейшем нужно будет не только находить примеры, но и объяснять, почему свойство верно для всех объектов.
Как понять, что утверждение является общим?
В нём говорится обо всех объектах некоторого множества: часто используются слова «все», «каждый» или «любой». Например, «все числа, кратные 10, оканчиваются цифрой 0» — общее утверждение о числах, кратных 10.
Можно ли доказать общее утверждение, проверив несколько примеров?
Нет, несколько примеров показывают только то, что утверждение верно для проверенных объектов. Чтобы доказать его, нужно обосновать, что свойство выполняется для каждого объекта множества.
Что такое контрпример?
Контрпример — это объект, для которого общее утверждение оказывается неверным. Например, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см опровергает утверждение, что все прямоугольники являются квадратами.
Сколько контрпримеров нужно, чтобы опровергнуть общее утверждение?
Достаточно одного контрпримера. Общее утверждение обещает, что свойство есть у каждого объекта, поэтому одного объекта без этого свойства хватает, чтобы показать ошибку.
Как правильно сформулировать отрицание общего утверждения?
Отрицание фразы «все объекты обладают свойством» звучит так: «существует хотя бы один объект, который этим свойством не обладает». Не нужно утверждать, что свойство неверно для всех объектов.
2. Общие утверждения
