"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
«Хотя бы один» — это один или больше нужных результатов среди нескольких попыток. Например, при двух бросках монеты орёл может выпасть один раз или дважды — оба случая подходят. Такие задачи можно решать прямым подсчётом, а можно рассмотреть противоположный случай: нужного результата не было ни разу. Второй способ часто короче, потому что для вероятности достаточно вычесть вероятность противоположного события из единицы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Событие — результат опыта, о наступлении которого можно говорить. Например, при броске кубика событием может быть выпадение числа больше четырёх. Это слово помогает точно назвать, какой результат мы проверяем.
Событие «хотя бы один» происходит, если среди нескольких попыток нужный результат встретился не менее одного раза. Это может быть один раз, два раза или больше. Такое условие позволяет учитывать все варианты, где результат появился хотя бы однажды.
Противоположное событие для события «хотя бы один» означает, что нужный результат не появляется ни разу. Например, противоположно событию «хотя бы раз выпал орёл» событие «орёл не выпал ни разу». Оно нужно, когда отсутствие результата посчитать проще, чем все случаи его появления.
Вероятность события — число, показывающее, насколько возможно событие. Если все исходы равновозможны, её находят так: число подходящих исходов делят на число всех исходов. Вероятность помогает сравнивать возможность событий и выражается числом от 0 до 1.
Слова «хотя бы один» задают нижнюю границу: нужный результат должен встретиться хотя бы один раз, но большее количество тоже допустимо. При двух попытках подходят случаи, где результат появился в первой, во второй или в обеих. Поэтому нельзя оставлять только варианты с одним появлением: тогда условие задачи станет другим — «ровно один».
Событие «хотя бы один» и событие «ни одного» не могут произойти одновременно: результат либо встретился, либо отсутствовал во всех попытках. При этом один из этих случаев обязательно происходит, потому что других возможностей нет. Значит, удобно разбить все исходы на две непересекающиеся группы: нужный результат был хотя бы раз и нужного результата не было ни разу.
Представим, что всего есть 20 равновозможных исходов, а в 5 из них нужного результата нет. Тогда остальные 15 исходов — это случаи «хотя бы один», ведь каждый исход должен попасть в одну из двух групп. Такой подсчёт позволяет не выписывать подробно все 15 подходящих вариантов, если пять противоположных вариантов найти легче.
Когда исходы равновозможны, вероятность события находят отношением числа подходящих исходов к общему числу исходов. Например, если подходят 3 исхода из 8, вероятность равна 3/8. Для противоположных событий числа подходящих исходов в сумме дают общее число, поэтому их вероятности в сумме равны 1: P(событие) + P(противоположное событие) = 1.
Выбирай способ по тому, какие случаи проще считать. Можно перечислить варианты с одним нужным результатом, затем с двумя и так далее, если таких вариантов немного. Если же проще описать, как результат не появляется ни разу, найди вероятность этого события и вычти её из 1; для нескольких попыток оно часто состоит из одинаково понятных случаев.
| Что требуется найти | Прямой подсчёт | Подсчёт через противоположное событие |
|---|---|---|
| Какие случаи входят в событие | Один, два и больше нужных результатов | Сначала определяют случаи, где нужного результата нет совсем |
| Какие случаи нужно посчитать | Все случаи с хотя бы одним нужным результатом | Все случаи «ни одного» |
| Как получить число подходящих исходов | Сложить числа случаев с одним, двумя и другими появлениями | Вычесть число противоположных исходов из общего числа |
| Как найти вероятность при равновозможных исходах | Разделить число подходящих исходов на общее число | Найти вероятность дополнения и вычесть её из 1 |
| Когда способ удобнее | Когда вариантов с нужным результатом мало | Когда случаев «ни одного» меньше или их проще описать |
Сначала установи, что именно считается нужным результатом, а затем выбери столбец с более простым подсчётом. В обоих способах важно считать исходы одного и того же опыта и не пропустить варианты.
Задача 1. В коробке лежат красный и синий кубики. Наугад достают один кубик. Какова вероятность достать хотя бы один красный кубик? Здесь попытка одна, поэтому «хотя бы один» означает, что достался красный кубик.
Ответ: 1/2. При одной попытке противоположный случай тоже легко посчитать, но прямой подсчёт здесь короче.
Задача 2. Монету подбрасывают два раза. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет орёл? Запишем результаты по порядку: первая буква обозначает первый бросок, вторая — второй. Такое перечисление помогает не забыть случаи, когда орёл выпал дважды.
Ответ: 3/4. Здесь оба способа дают одинаковый результат, а дополнение особенно быстро заметить.
Задача 3. Кубик бросают два раза. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет число больше четырёх? Вместо того чтобы перечислять все пары с 5 или 6, рассмотрим противоположный случай: оба раза выпало число не больше четырёх.
Ответ: 5/9. Подсчёт через «ни одного» короче, чем перечисление всех пар, где встретилась пятёрка или шестёрка.
Считать «хотя бы один» тем же, что «ровно один». Так теряются исходы с двумя и более нужными результатами, потому что слово «хотя бы» задаёт минимум, а не точное количество. После подсчёта проверь: включил ли ты случай, когда нужный результат появился во всех попытках? Если нет, возможно, ты посчитал только «ровно один».
Забывать, что «ни одного» означает отсутствие результата во всех попытках. Например, при двух бросках кубика недостаточно проверить только первый: нужное число может выпасть во втором. Запиши противоположное событие словами для каждой попытки и проверь, что результат исключён во всех них.
Вычесть число неудач, но неверно найти вероятность. Если из общего числа исходов вычли количество случаев «ни одного», получено число подходящих исходов, а не вероятность. Чтобы получить вероятность, раздели его на общее число; или сначала найди вероятность противоположного события и вычти её из 1.
Считать исходы равновозможными без основания или сравнивать несогласованные подсчёты. Отношение чисел исходов даёт вероятность только тогда, когда каждый исход имеет одинаковую возможность. Также нельзя вычитать число исходов из вероятности или смешивать подсчёты, где один вариант учитывался по-разному. Проверь, что исходы равновозможны и в обоих подсчётах рассматривается один и тот же набор всех возможностей.
Чтобы решать такие задачи, нужно уметь перечислять исходы простого опыта и считать их общее количество. Также понадобится понимать дробь как отношение части к целому: число подходящих исходов делят на число всех равновозможных исходов. Вычитание вероятности из 1 опирается на умение находить дополнение числа до единицы. Этот способ пригодится в задачах о нескольких последовательных испытаниях и составных событиях, которые зависят от результатов нескольких попыток.
Чем «хотя бы один» отличается от «ровно один»?
«Хотя бы один» включает один, два и любое большее число нужных результатов. «Ровно один» включает только случай с одним результатом, поэтому при нескольких попытках эти условия различаются.
Какое событие является противоположным событию «хотя бы один»?
Противоположное событие — «ни одного»: нужный результат не появился ни в одной попытке. Например, противоположно событию «хотя бы раз выпал орёл» событие «орёл не выпал ни разу».
Почему вероятность события и противоположного события в сумме равна единице?
В каждом исходе происходит либо само событие, либо его противоположность, и третьего варианта нет. Поэтому вместе они охватывают все исходы, а сумма их вероятностей равна вероятности достоверного события — 1.
Когда удобнее считать через событие «ни одного»?
Так удобнее, если исходов с хотя бы одним нужным результатом много, а отсутствие результата легко описать. Тогда находят вероятность события «ни одного» и вычитают её из 1.
Можно ли применять этот способ, если исходы не равновозможны?
Да, связь события и противоположного события сохраняется и для неравновозможных исходов: их вероятности в сумме равны 1. Но нельзя просто делить число подходящих исходов на общее число; сначала нужно уметь находить вероятности исходов.
3. "Хотя бы один"
