4. О доказательстве общих утверждений

Определения и обозначения

Общее утверждение — высказывание, которое относится ко всем объектам или случаям, удовлетворяющим заданному условию. Например, фраза «сумма двух чётных чисел чётна» говорит не о выбранной паре, а о любой такой паре. Это понятие помогает понять, почему нельзя ограничиться проверкой одного примера.

Доказательство — рассуждение, которое с помощью известных фактов обосновывает истинность общего утверждения. В нём нужно показать, почему вывод получается для любого случая из условия. Доказательство нужно, чтобы быть уверенным не только в нескольких проверенных ответах.

Контрпример — отдельный подходящий под условие пример, на котором общее утверждение оказывается неверным. Например, 9 подходит к условию «нечётное число больше 1», но не является простым. Контрпример нужен, чтобы опровергнуть обещание, будто свойство выполняется всегда.

Истинное утверждение — высказывание, верность которого можно обосновать. Проверка нескольких частных случаев сама по себе ещё не доказывает его истинность: не проверенные случаи могут отличаться. Поэтому это понятие напоминает, что примеры и доказательство выполняют разные задачи.

Как это устроено

Общее утверждение отличается от фразы об одном конкретном случае тем, что его условие может подходить многим объектам. Например, «число 8 чётное» говорит об одном числе, а «любое чётное число делится на 2» — обо всех числах с таким свойством. Это различие важно, потому что объём проверки зависит от того, о чём именно говорится. Если утверждение общее, одного удачного случая недостаточно.

Проверка нескольких примеров полезна: она помогает разобраться в словах утверждения и заметить возможную закономерность. Например, можно сложить несколько пар чётных чисел и увидеть, что суммы получаются чётными. Но примеров, которые можно проверить, сколько угодно, а они всё равно показывают только отдельные случаи. Поэтому закономерность по примерам — повод искать доказательство, а не замена ему.

Чтобы доказать общее утверждение, надо построить рассуждение для произвольного случая, который удовлетворяет условию. Слово «произвольного» означает, что мы не выбираем особенное число, а рассуждаем о любом подходящем числе. Тогда каждый шаг должен опираться на условие или известное правило и вести к нужному выводу. Если рассуждение работает для любого выбора, оно охватывает все случаи сразу.

Опровергнуть общее утверждение можно иначе: найти один контрпример. Ведь слова «для всех» означают, что свойство не должно нарушаться ни в одном подходящем случае. Если нашёлся хотя бы один случай, где условие выполнено, а вывод неверен, обещание «всегда» не выполняется. Несколько контрпримеров искать не требуется.

При разборе утверждения сначала отделяют условие от вывода. Условие сообщает, о каких объектах идёт речь, а вывод — какое свойство им приписывают. Например, в словах «любое нечётное число больше 1 является простым» условие — быть нечётным и больше 1, вывод — быть простым. Такое разделение помогает не взять неподходящий пример и понять, что именно нужно доказать.

Как проверяют общее утверждение

Сначала реши, чего нужно добиться: заметить закономерность, доказать её или опровергнуть. Для доказательства ищи рассуждение, которое охватывает любой подходящий случай; для опровержения проверь, что контрпример подходит под условие. Таблица помогает не путать эти цели и выбирать нужный способ проверки.

Разбор задач

Задача 1. Проверьте утверждение: сумма двух чётных чисел всегда чётна. Рассмотрите несколько пар чётных чисел. Несколько примеров могут показать, что утверждение похоже на правду, но не докажут его. Поэтому сначала посмотрим на пары, а затем обоснуем закономерность для любых чётных чисел. Чётное число — это число, которое делится на 2 без остатка.

1. Возьмём пары 2 и 4, 6 и 8, 10 и 12. Их суммы равны 6, 14 и 22 — все они чётные.
2. Представим любое чётное число как 2a, где a — целое число. Тогда второе чётное число можно обозначить 2b.
3. Их сумма равна 2a + 2b = 2(a + b). Она делится на 2, потому что записана как произведение 2 на целое число.

Ответ: примеры поддерживают утверждение, а рассуждение доказывает, что сумма любых двух чётных чисел чётна. Обозначения 2a и 2b охватывают не одну выбранную пару, а все пары чётных чисел. Именно поэтому этот вывод сильнее проверки нескольких сумм.

Задача 2. Опровергните утверждение: любое нечётное число больше 1 является простым. Для опровержения не нужно проверять все нечётные числа. Достаточно найти такое число, которое удовлетворяет обеим частям условия, но не обладает свойством из вывода. Проверим число 9.

1. Условие требует, чтобы число было нечётным и больше 1.
2. Число 9 нечётное, так как не делится на 2, и оно больше 1.
3. Число 9 делится на 3: 9 = 3 × 3. Значит, оно имеет делители, кроме 1 и самого себя, и не является простым.

Ответ: число 9 — контрпример, поэтому утверждение неверно. Оно подходит под условие, но не подтверждает вывод. Например, чётное число не подошло бы: оно не удовлетворяет условию «нечётное».

Задача 3. Докажите, что сумма двух чисел, кратных 5, кратна 5. Число кратно 5, если делится на 5 без остатка. Чтобы доказать утверждение для любых таких чисел, обозначим их не конкретными примерами, а выражениями с общим множителем 5. Затем проверим, сохраняется ли этот множитель в сумме.

1. Обозначим первое число как 5a, а второе — как 5b, где a и b — целые числа.
2. Сложим числа: 5a + 5b.
3. Вынесем общий множитель 5: 5a + 5b = 5(a + b). Поскольку a + b — целое число, сумма делится на 5.

Ответ: сумма любых двух чисел, кратных 5, тоже кратна 5. В рассуждении использовано только то, что каждое число кратно 5, поэтому оно применимо к любой такой паре. Подстановка конкретных чисел для этого вывода не нужна.

Типичные ошибки

Считать утверждение доказанным после нескольких примеров. Так делают, когда все проверенные случаи дают одинаковый результат и закономерность кажется очевидной. Но остаются непроверенные случаи, в которых может найтись исключение. Проверь себя: рассуждение использует любое число из условия или только те числа, которые ты подставил?

Опровергать утверждение примером, который не подходит под условие. Такой пример ничего не говорит о выводе, потому что утверждение вообще не обещало для него нужного свойства. Ошибка часто возникает, если смотреть только на неверный вывод и забыть проверить условие. Проверь себя: выполняются ли все требования, перечисленные в условии?

Приводить несколько примеров вместо одного контрпримера. Может казаться, что для убедительности нужно собрать много случаев, но общее утверждение нарушает уже один подходящий случай. Лишние примеры не заменяют проверки условия и вывода. Проверь себя: можешь ли ты показать один случай, который подходит под условие и опровергает вывод?

Повторять утверждение или называть его очевидным вместо доказательства. Такое объяснение не показывает, почему вывод верен для любого случая, даже если он кажется знакомым. Ошибка появляется, когда пропускают связь между условием и результатом. Проверь себя: объяснил ли ты каждый шаг и показал ли, что он применим к любому подходящему случаю?

Связь с другими темами

Для работы с общими утверждениями нужно уметь отличать условие от вывода, проверять делимость и приводить числовые примеры. Эти знания помогают правильно выбрать проверяемый случай и записать рассуждение. Позже тот же навык пригодится при изучении свойств чисел и геометрических фактов. Он также помогает решать задачи, где условия должны выполняться сразу для многих объектов.

Что запомнить

• Общее утверждение относится ко всем случаям, удовлетворяющим условию.
• Несколько верных примеров не доказывают общее утверждение.
• Доказательство должно быть верным для любого подходящего случая.
• Одного подходящего контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть общее утверждение.
• Контрпример должен удовлетворять условию утверждения.
• В рассуждении важно ясно различать условие и вывод.