4. О доказательстве общих утверждений

Определения и обозначения

Общее утверждение — высказывание, которое относится ко всем объектам или числам, удовлетворяющим указанному условию. Например, фраза «сумма двух чётных чисел чётна» относится ко всем парам чётных чисел, а не к одной выбранной паре. Это понятие помогает понять, что именно требуется проверить или доказать.

Доказательство — рассуждение, которое показывает, почему общее утверждение верно во всех подходящих случаях. В нём каждый вывод опирается на известное определение или свойство. Доказательство нужно, чтобы убедиться в правиле не только на знакомых примерах, но и для любого случая из условия.

Контрпример — один подходящий случай, в котором общее утверждение оказывается неверным. Например, число 15 подходит под условие «оканчивается цифрой 5», но не делится на 10. Контрпример нужен, чтобы опровергнуть общее утверждение без проверки всех возможных случаев.

Частный случай — конкретный пример, который проверяет общее утверждение, но сам по себе не доказывает его. Если сложить 4 и 8 и получить чётное число 12, это подтвердит правило только для пары 4 и 8. Частные случаи помогают разобраться в утверждении и заметить возможную ошибку.

Как это устроено

Общее утверждение легко узнать по смыслу: оно распространяет правило на все числа или предметы, подходящие под условие. Слова «все», «любое» или формулировка «сумма двух чётных чисел» часто указывают на такой охват. Это важно заметить, потому что один пример может относиться только к части случаев, а утверждение требует рассмотреть их все.

Проверка примеров полезна, но не заменяет доказательство. Можно проверить несколько чисел и каждый раз получить нужный результат, однако непроверенные случаи останутся неизвестными. Среди них может быть число, для которого правило не работает, поэтому удачные проверки не дают уверенности за все возможные значения.

Чтобы опровергнуть неверное общее утверждение, достаточно найти контрпример. Сначала проверь, что выбранный объект удовлетворяет условию, иначе он не относится к утверждению. Затем сравни результат с тем, что обещает правило: если обещание не выполняется, одного такого случая уже достаточно для опровержения.

Доказательство строят из известных определений и свойств, соединяя их понятными шагами. Например, чётное число можно представить как число, делящееся на 2, или как удвоенное целое число. Если рассуждение показывает нужный результат для любого числа, записанного таким способом, оно охватывает все подходящие числа, а не только выбранные примеры.

Условие утверждения нельзя незаметно менять или сужать. Если сказано «любое число, оканчивающееся цифрой 5», нельзя рассуждать только о двузначных числах: правило заявлено и для других подходящих чисел. Точное следование условию помогает не пропустить случаи и не использовать свойства, о которых в задаче ничего не сказано.

Как проверить общее утверждение

Сначала можно проверить несколько частных случаев, чтобы понять смысл правила и попробовать найти исключение. Если нашёлся контрпример, утверждение опровергнуто; если нет, это ещё не доказательство. Доказательство требуется, чтобы обосновать правило для всех случаев, а не только для проверенных.

Разбор задач

Сумма двух чётных чисел чётна

Проверим утверждение на примерах и выясним, почему этого недостаточно для доказательства. Чётное число делится на 2, поэтому к чётным относятся, например, 2, 4 и 8. Нужно отличать проверку нескольких пар от рассуждения для любых двух чётных чисел.

1. Возьмём пары 2 и 4, затем 6 и 8. Их суммы равны 6 и 14, обе суммы чётные.
2. Эти вычисления подтверждают утверждение только для двух выбранных пар. Другие чётные числа мы не проверили, поэтому примеры не доказывают правило.
3. Чтобы доказать его, запишем два любых чётных числа как 2a и 2b. Их сумма равна 2a + 2b = 2(a + b), то есть делится на 2 и является чётной.

Ответ: примеры подтверждают правило для выбранных пар, но доказательство состоит в том, что сумма любых двух чётных чисел делится на 2.

Число оканчивается цифрой 5

Проверим утверждение: «любое число, оканчивающееся цифрой 5, делится на 5 и на 10». Для опровержения нужно найти число, которое подходит под условие, но не выполняет хотя бы одну часть утверждения. Число 15 удобно проверить делением на 5 и на 10.

1. Число 15 оканчивается цифрой 5, значит, условие утверждения выполнено.
2. 15 делится на 5: 15 = 5 · 3. Но 15 не делится на 10 без остатка.
3. Следовательно, неверна часть утверждения о делимости на 10. Этого контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение целиком.

Ответ: контрпример — 15; оно делится на 5, но не делится на 10.

Сумма двух нечётных чисел чётна

Докажем утверждение для любых двух нечётных чисел. Нечётное число на единицу больше чётного, поэтому его можно представить как 2a + 1, где 2a — чётное число. Такая запись позволяет рассуждать сразу о всех нечётных числах.

1. Запишем два нечётных числа: 2a + 1 и 2b + 1.
2. Сложим их: (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2.
3. Вынесем 2: 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1). Получилось число, делящееся на 2, а значит, сумма чётная.

Ответ: сумма двух любых нечётных чисел чётна, потому что её можно представить как произведение 2 на целое число.

Типичные ошибки

Считать правило доказанным после нескольких удачных примеров — ошибка: примеры показывают только проверенные случаи. Её допускают, потому что одинаковый результат создаёт впечатление, будто так будет всегда. Проверь себя: объяснено ли, почему вывод верен и для непроверенных случаев? Если нет, доказательства пока нет.

Для опровержения иногда приводят пример, который не удовлетворяет условию. Такой случай ничего не говорит об утверждении, ведь правило относится к другим объектам. Перед проверкой результата отдельно спроси себя, подходит ли выбранное число под условие.

Ещё одна ошибка — принять пример, подтверждающий правило, за доказательство. Например, сумма 2 и 4 действительно чётная, но это только один частный случай. Проверь, охватывает ли рассуждение все значения из условия, а не одну выбранную пару.

Если пропустить пояснение между шагами, читателю будет непонятно, откуда взялся вывод. Это происходит, когда автор считает некоторые переходы очевидными и не называет нужное свойство. Перечитай рассуждение и для каждого шага укажи, какое определение или правило его обосновывает.

Связь с другими темами

Для таких рассуждений нужно внимательно читать условие, различать чётные и нечётные числа и знать делимость на 2, 5 и 10. Эти сведения помогают подобрать примеры и понять, подходит ли число под условие. На знакомых числах удобно проверять ход мысли, прежде чем записывать доказательство.

Умение доказывать пригодится при изучении свойств чисел и делимости: там нужно объяснять, почему правило работает не только для нескольких примеров. В геометрии тоже встречаются общие утверждения, например о свойствах фигур. В обоих случаях точное условие и обоснование шагов помогают отличить доказательство от догадки.

Что запомнить

• Общее утверждение относится ко всем случаям, указанным в его условии.
• Несколько примеров не заменяют доказательство.
• Одного подходящего контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть общее утверждение.
• Контрпример должен удовлетворять условию утверждения.
• Доказательство объясняет, почему утверждение верно во всех подходящих случаях.
• Каждый шаг рассуждения нужно обосновать.