"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Условие «хотя бы один» означает, что подходит один объект или несколько: один, два, оба варианта и так далее. Для подсчёта таких объектов используют объединение множеств. Если множества пересекаются, общие элементы нельзя считать дважды, поэтому их вычитают один раз. Иногда проще найти все объекты и убрать те, для которых не подходит ни одно условие. Эти способы помогают решать задачи о кружках, цветах, делимости чисел и других признаках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
«Хотя бы один» означает, что условие выполняется для одного объекта или нескольких. Подходит и ровно один вариант, и два варианта сразу. Это выражение помогает не исключить случаи, когда подходят все рассматриваемые объекты.
Объединение множеств — множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из рассматриваемых множеств. Обозначают его, например, A ∪ B: сюда входят элементы из A, из B и из общей части. Объединение нужно, когда требуется найти всех, кто подходит хотя бы под одно условие.
Пересечение множеств — множество элементов, которые принадлежат каждому из рассматриваемых множеств. Для двух множеств A и B это общие элементы A ∩ B. Пересечение нужно замечать, чтобы при подсчёте не посчитать одни и те же элементы дважды.
Дополнение до всего множества — элементы, не входящие в выбранное множество, но находящиеся среди всех рассматриваемых элементов. Если множество описывает условие «подходит», его дополнение описывает условие «не подходит», или «ни одного». Это позволяет находить нужное количество вычитанием из общего числа.
Условие «хотя бы один» переводят на язык множеств так: берут элементы первого множества, второго или обоих сразу. Например, при условии «делится на 2 или на 3» подходят все числа, кратные 2, все числа, кратные 3, и числа, кратные одновременно 2 и 3. Поэтому используется объединение, а не только одно из множеств.
При сложении количеств двух множеств общая часть встречается в каждом слагаемом. Представь ученика, который посещает оба кружка: сначала он попал в число участников первого кружка, а затем ещё раз — в число участников второго. Чтобы каждый ученик был учтён один раз, общую часть нужно вычесть.
Отсюда получается правило для двух множеств: количество элементов объединения равно сумме количеств элементов множеств минус количество их общих элементов. В записи это выглядит так: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Вычитание выполняют ровно один раз, потому что изначально общие элементы были добавлены дважды, а оставить нужно одну копию.
Иногда проще решить задачу через противоположное условие. Сначала находят все возможные элементы, затем считают те, для которых не подходит ни одно условие, и вычитают это число из общего. Такой способ особенно удобен, когда множество «ни одного» легко описать или посчитать, а перечислять все подходящие элементы трудно.
Выбор способа зависит от данных задачи. Если подходящие элементы легко перечислить или объединение небольшое, можно посчитать их непосредственно, проверяя каждый элемент. Если общая часть хорошо видна, применяют правило объединения, а если проще найти неподходящие элементы — используют дополнение до всего множества. После решения полезно проверить результат другим способом или оценить, не получился ли он больше общего количества.
| Ситуация | Что включить в подсчёт | Как избежать ошибки |
|---|---|---|
| Множества не имеют общих элементов | Сложить количества элементов обоих множеств | Убедиться, что один элемент не может принадлежать сразу двум множествам |
| Множества имеют общие элементы | Сложить количества и вычесть количество общих элементов | Общую часть вычесть ровно один раз |
| Удобнее считать противоположное событие | Из общего количества вычесть случаи «ни одного» | Точно определить, какие элементы не подходят ни под одно условие |
| Нужно определить, подходит ли конкретный элемент | Проверить каждое условие отдельно и учесть ответ «да» хотя бы на одно | Не путать «хотя бы один» с «ровно один» |
Сначала определи, какие множества описывают условия задачи и есть ли у них общие элементы. Затем выбери строку таблицы, подходящую к ситуации, и проверь результат. Если сомневаешься, можно перечислить элементы вручную и сравнить с вычислением.
В классе 12 учеников посещают кружок рисования, 9 — шахматный кружок, 4 посещают оба кружка. Нужно узнать, сколько учеников посещают хотя бы один кружок.
Ответ: 17 учеников посещают хотя бы один кружок.
В коробке 20 карандашей: 7 красных, 5 синих, причём 2 карандаша одновременно красные и синие. Требуется найти количество карандашей, имеющих хотя бы один из этих цветов.
Ответ: 10 карандашей имеют хотя бы один из указанных цветов.
Из 30 чисел от 1 до 30 нужно посчитать числа, которые делятся хотя бы на 2 или на 3. Здесь удобно применить правило объединения, а затем проверить его через противоположное условие.
Ответ: 20 чисел делятся хотя бы на 2 или на 3.
Сложить количества без поправки на общую часть. Так делают, когда забывают, что один элемент может принадлежать обоим множествам. Проверь, есть ли пересечение: если да, вычти его количество один раз.
Вычесть общую часть дважды. Иногда после правильного вычитания общей части её убирают ещё раз. Сверь формулу: из суммы количеств пересечение вычитается только один раз.
Понять «хотя бы один» как «ровно один». В этом случае ошибочно исключают элементы, подходящие сразу под оба условия. Проверь себя вопросом: входят ли в задачу случаи, когда подходят оба варианта? При словах «хотя бы один» входят.
Забыть вычесть случаи «ни одного». При решении через дополнение некоторые находят число неподходящих элементов и принимают его за ответ. Сначала запиши общее количество, затем выполни действие: общее количество − «ни одного».
До этой темы нужно уметь находить количество элементов множества и определять, какие элементы принадлежат нескольким множествам одновременно. Без этого трудно заметить общую часть и правильно применить правило объединения.
Умение считать «хотя бы один» пригодится в задачах на подсчёт вариантов и объектов с несколькими признаками. Такие условия часто пересекаются, поэтому объединение, пересечение и дополнение помогают рассуждать без пропусков и повторного счёта.
Что означает выражение «хотя бы один»?
Это означает «один или больше». Подходит и ровно один объект, и несколько объектов, в том числе все рассматриваемые варианты.
Включает ли условие «хотя бы один» случаи, когда подходят оба варианта?
Да, включает. Если подходят оба варианта, объект принадлежит сразу двум множествам и всё равно считается подходящим.
Почему при сложении количеств нужно вычитать общие элементы?
Общий элемент попадает и в первое, и во второе множество. При сложении его посчитают дважды, поэтому одну лишнюю копию нужно вычесть.
Как понять, что задачу удобнее решить через противоположное условие?
Такой способ удобен, если легче посчитать все объекты и те, которые не подходят ни под одно условие. Тогда число подходящих объектов находят вычитанием из общего количества.
Как проверить, что ни один элемент не посчитан дважды?
Нужно отдельно найти общую часть множеств. Если элементы из неё были включены при подсчёте каждого множества, общую часть вычитают один раз.
3. "Хотя бы один"
