2.11. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные

Определения и обозначения

Конечная десятичная дробь — десятичная дробь, запись которой оканчивается после некоторого числа цифр. Например, 0,75 — конечная дробь: после цифры 5 запись заканчивается. Такое название помогает отличить её от записи, в которой цифры после запятой продолжаются бесконечно.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная запись, в которой одна или несколько цифр повторяются. Например, в записи 0,333… постоянно повторяется цифра 3. Это понятие нужно, когда деление дроби не заканчивается, но даёт повторяющийся рисунок цифр.

Период десятичной дроби — группа цифр, которая повторяется в бесконечной периодической записи. В числе 0,272727… периодом служит группа 27, а не только одна цифра. Период выделяют, чтобы коротко записать бесконечно продолжающуюся дробь.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную — представление дроби в виде десятичной записи с помощью равносильной дроби или деления. Например, дробь можно заменить равной ей дробью со знаменателем 100 либо разделить её числитель на знаменатель. Это позволяет записывать дроби в удобном для сравнения и вычислений виде.

Как это устроено

Чтобы получить конечную десятичную дробь, можно подобрать равносильную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Эти знаменатели удобны, потому что десятичная запись показывает доли единицы: десятые, сотые, тысячные. При умножении числителя и знаменателя на одно число значение дроби сохраняется, поэтому новый вариант дроби равен исходному. Например, знаменатель 4 можно превратить в 100, умножив его на 25.

После сокращения знаменатель раскладывают на простые множители — числа, которые делятся только на себя и на 1. Степени числа 10 имеют вид 10ⁿ = 2ⁿ · 5ⁿ, поэтому их делители могут содержать только множители 2 и 5. Если знаменатель состоит из этих множителей, его можно домножить так, чтобы получить подходящую степень 10. Значит, дробь можно записать конечной десятичной дробью.

Если после сокращения в знаменателе остаётся иной простой множитель, получить знаменатель, состоящий только из двоек и пятёрок, уже нельзя. Поэтому дробь нельзя представить конечной десятичной записью, хотя деление всё равно можно выполнить. В его результате цифры после запятой продолжаются и повторяются. Например, знаменатель 12 содержит множитель 3, поэтому у дроби 5/12 получится периодическая запись.

При делении в столбик после каждого шага возникает остаток. Остаток всегда меньше делителя, поэтому возможных остатков лишь ограниченное число: от 0 до числа, на единицу меньшего делителя. Если деление не закончилось, какой-то остаток рано или поздно встретится повторно. С этого места действия повторяются точно так же, поэтому повторяются и цифры частного.

Периодическую дробь записывают короче: повторяющуюся цифру или группу цифр помещают в скобки. Например, 0,41666… записывают как 0,41(6): цифры 4 и 1 перед периодом не повторяются, а 6 повторяется бесконечно. Важно начать период именно с первой повторяющейся группы. Если повторяется несколько цифр, в скобки включают всю группу, а не её часть.

Способы и результаты преобразования дроби в десятичную

Сначала проверь, можно ли подобрать знаменатель 10, 100, 1000 и так далее, или сократи дробь и посмотри на множители знаменателя. Для конечной записи найди нужный множитель и умножь на него числитель тоже. Если выполняешь деление, отмечай остатки: повторившийся остаток подскажет начало периода.

Разбор задач

Задача 1. Преобразуйте дробь 3/4 в десятичную. Знаменатель 4 удобно превратить в 100, потому что сотые доли записываются двумя цифрами после запятой. Чтобы получить 100, нужно умножить 4 на 25. Равносильность дроби сохранится, только если на 25 умножить и числитель.

1. Умножаем числитель и знаменатель на 25: 3/4 = (3 · 25)/(4 · 25).
2. Вычисляем: 75/100.
3. Записываем 75 сотых десятичной дробью: 0,75.

Ответ: 3/4 = 0,75. Проверка: 0,75 означает 75 сотых, то есть 75/100. Если сократить эту дробь на 25, снова получится 3/4.

Задача 2. Преобразуйте дробь 7/20 в десятичную. Число 20 не является 10 или 100, но его можно домножить до 100. Для этого ищем число, на которое нужно умножить 20: это 5. Теперь умножаем на 5 и числитель, иначе дробь изменила бы своё значение.

1. Умножаем числитель и знаменатель на 5: 7/20 = (7 · 5)/(20 · 5).
2. Получаем дробь 35/100.
3. Записываем сотые: 35/100 = 0,35.

Ответ: 7/20 = 0,35. Два нуля в знаменателе 100 означают, что после запятой записываются две цифры. Здесь это 35, поэтому ответ не 0,035, а 0,35.

Задача 3. Преобразуйте дробь 5/12 в десятичную и укажите период. Знаменатель 12 нельзя домножить до степени 10 так, чтобы получить целое число: в разложении 12 = 2 · 2 · 3 есть множитель 3. Поэтому выполняем деление столбиком и следим за остатками, чтобы установить, где начинается повтор.

1. Делим 5 на 12. Так как 5 меньше 12, записываем 0, и рассматриваем 50 десятых.
2. 50 : 12 = 4, остаток 2. После цифры 4 приписываем к остатку 0: получаем 20.
3. 20 : 12 = 1, остаток 8; затем 80 : 12 = 6, остаток 8.
4. Остаток 8 повторился, значит, дальше будет снова цифра 6. Записываем повторяющуюся цифру в скобках.

Ответ: 5/12 = 0,41(6), период — 6. Перед периодом стоят цифры 4 и 1, потому что они появились до повторения остатка. Повторившийся остаток 8 снова даёт цифру 6, поэтому именно она повторяется дальше.

Типичные ошибки

Домножают только знаменатель. Так дробь перестаёт быть равной исходной: например, 3/4 нельзя заменить на 3/100. Ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на получении удобного знаменателя. Проверяй, что числитель и знаменатель умножены на одно и то же число.

Считают, что любая дробь даёт конечную запись. При делении некоторые ученики останавливаются после нескольких цифр, хотя остаток ещё не равен нулю. Проверь сокращённый знаменатель: если в нём есть простой множитель, отличный от 2 и 5, запись будет периодической. При делении не прекращай вычисления, пока не закончится деление или не повторится остаток.

Неверно определяют период. За период принимают одну цифру, хотя повторяется группа, или включают в скобки цифры, которые встретились только один раз. Это случается, если не следить за остатками и местом начала повторения. Найди повторившийся остаток и сравни цифры от первого появления этого остатка до его повтора.

Неправильно ставят запятую. Например, 35/100 могут ошибочно записать как 0,035, не учитывая, что 35 — это уже две цифры сотых. Число нулей в знаменателе 10, 100 или 1000 показывает, сколько цифр должно быть после запятой. Проверь запись обратным переходом: 0,35 — это 35/100, а 0,035 — уже 35/1000.

Связь с другими темами

Для преобразования дробей нужны навыки сокращения и нахождения равносильных дробей, а для периодической записи — деление натуральных чисел. Эти действия знакомы по предыдущим темам и помогают выбрать подходящий способ решения. Десятичная запись пригодится при сравнении обыкновенных и десятичных дробей, а также в вычислениях с десятичными дробями. Правило о множителях знаменателя позволяет заранее предсказать, закончится ли десятичная запись или станет периодической.

Что запомнить

• При умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число её значение не меняется.
• Знаменатель 10, 100, 1000 и так далее даёт конечную десятичную дробь.
• После сокращения дробь имеет конечную десятичную запись, если знаменатель состоит только из множителей 2 и 5.
• Деление числителя на знаменатель позволяет получить десятичную запись любой обыкновенной дроби.
• При делении повторение остатка приводит к повторению цифр частного.
• Повторяющуюся группу цифр в записи периодической дроби заключают в скобки.