3.1. Смежные и вертикальные углы

Определения и обозначения

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи имеют общий конец и идут в разные стороны по одной прямой. Это определение помогает не перепутать смежные углы с любыми углами, у которых просто есть общая сторона.

Вертикальные углы — два угла с общей вершиной, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. У них нет общей стороны: они расположены напротив друг друга. Такое определение нужно, чтобы узнавать вертикальные углы при пересечении двух прямых.

Развёрнутый угол — угол, стороны которого являются противоположными лучами. Его градусная мера равна 180°. Понятие развёрнутого угла объясняет, почему сумма двух смежных углов составляет именно 180°.

Угол обозначают тремя буквами, причём буква вершины стоит посередине: ∠AOB. Пары углов можно обозначать, например, ∠AOB и ∠COD. Такое обозначение точно показывает, о каких углах идёт речь в задаче.

Как это устроено

У смежных углов общая сторона делит развёрнутый угол на две части. Их внешние стороны остаются противоположными лучами, поэтому вместе эти углы составляют весь развёрнутый угол. Отсюда следует равенство: сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы равны не случайно. Пусть при пересечении двух прямых один угол соседствует с каждым из двух вертикальных углов. Каждый такой соседний угол в сумме с ним даёт 180°, значит, оба вертикальных угла можно найти одним и тем же вычитанием из 180°. Поэтому они имеют одинаковую градусную меру.

По рисунку сначала найдите общую вершину. Если у пары есть общая сторона, а две оставшиеся стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны, это смежные углы. Если общей стороны нет, но стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, углы вертикальные.

Неизвестный смежный угол находят вычитанием известного из 180°: β = 180° − α. При пересечении двух прямых вертикальный угол сразу получает ту же меру, что и известный. Два оставшихся угла смежны с ним, поэтому каждый равен 180° − α.

Сравнение смежных и вертикальных углов

Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом. Сначала сравните общую сторону и направление остальных лучей, а затем выберите нужное правило вычисления. Если сомневаетесь, проверьте, должна ли получиться сумма 180° или равенство мер.

Разбор задач

Задача 1. Определение пар углов

На рисунке отмечены несколько пар углов. Нужно определить, какие пары являются смежными, а какие — вертикальными.

1. Для каждой пары найдём общую вершину. Если вершины разные, пара не относится ни к смежным, ни к вертикальным.
2. Проверим наличие общей стороны. Общая сторона и противоположные лучи на других сторонах означают, что углы смежные.
3. Если общей стороны нет, проверим продолжение лучей. Когда стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, углы вертикальные.

Ответ: пара с общей стороной и противоположными внешними сторонами — смежная, а пара без общей стороны, чьи стороны продолжают друг друга, — вертикальная.

Задача 2. Смежные углы

Один из смежных углов равен 68°. Найдём второй угол.

1. Смежные углы в сумме дают 180°, потому что образуют развёрнутый угол.
2. Обозначим второй угол через x и составим выражение: x = 180° − 68°.
3. Выполним вычитание: x = 112°.

Ответ: второй угол равен 112°.

Задача 3. Углы при пересечении прямых

При пересечении двух прямых один угол равен 47°. Требуется найти остальные три угла.

1. Вертикальный угол равен известному, поэтому один из углов равен 47°.
2. Два других угла смежны с углом 47°, значит, каждый равен 180° − 47° = 133°.
3. Проверим результат: углы расположены попарно как 47°, 133°, 47°, 133°, а соседние пары дают 180°.

Ответ: остальные углы равны 47°, 133° и 133°.

Типичные ошибки

Ошибка: называть смежными любые углы с общей стороной. Её допускают, когда не проверяют положение двух других лучей. Проверьте, образуют ли они противоположные лучи и дают ли углы в сумме 180°.

Ошибка: считать вертикальными углы с общей стороной. Вертикальные углы находятся напротив друг друга, поэтому общей стороны у них нет. Если одна сторона совпадает, ищите среди такой пары смежные углы.

Ошибка: утверждать, что сумма вертикальных углов равна 180°. Для вертикальных углов верно равенство мер, а 180° получают смежные углы. Сверьте расположение пары перед выбором правила.

Ошибка: забывать градусы или неправильно вычитать из 180°. Записывайте единицу измерения после ответа и проверяйте вычисление обратным сложением: известный угол плюс найденный должен дать 180°.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны, градусная мера, противоположные лучи и развёрнутый угол. Эти понятия позволяют читать обозначения и распознавать нужные пары.

Дальше свойства углов пригодятся при решении задач на пересечение прямых, доказательстве равенства углов, а также при изучении треугольников и параллельных прямых. Они помогают заменять сложный рисунок несколькими понятными правилами.

Что запомнить

• Смежные углы имеют общую вершину и общую сторону.
• Другие стороны смежных углов являются противоположными лучами.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Вертикальные углы имеют общую вершину, но не имеют общей стороны.
• Вертикальные углы равны.
• При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.
• Для вычислений используют либо равенство вертикальных углов, либо сумму смежных углов.