2.9. Приближение десятичных дробей

Определения и обозначения

Приближение десятичной дроби — это замена числа близким числом, которое удобнее записать или использовать. Например, вместо 3,14159 можно взять 3,14. Такое число помогает выполнять вычисления и работать с результатами измерений.

Приближение с недостатком — это приближённое число, которое меньше исходного. На числовой прямой оно находится левее исходной точки: например, 7,3 расположено левее 7,384. Такой способ используют, когда нельзя завысить значение.

Приближение с избытком — это приближённое число, которое больше исходного. На числовой прямой оно находится правее исходной точки: для 7,384 это может быть 7,4. Сравнение с исходным числом позволяет не перепутать недостаток и избыток.

Точность приближения показывает, насколько приближённое число может отличаться от исходного. Она связана с разрядом, до которого выполняют округление: чем мельче разряд, тем точнее результат. Например, округление до сотых обычно точнее, чем округление до десятых.

Как это устроено

Число заменяют близким десятичным числом потому, что длинная запись не всегда нужна: измерение всё равно может быть неточным, а вычисления с большим количеством цифр неудобны. Сначала сравнивают исходное и приближённое числа по разрядам. На числовой прямой меньшее число находится левее, а большее — правее.

Чтобы получить приближение с недостатком, оставляют нужное число цифр после запятой, а остальные отбрасывают так, чтобы результат не стал больше исходного. Для 7,384 при записи до десятых это 7,3. Приближение с избытком выбирают с той же точностью, но оно должно быть правее исходного; здесь это 7,4.

Округление выбирает не просто любое число снизу или сверху, а ближайшее из них. Сначала находят разряд, который нужно сохранить, затем смотрят на первую цифру справа от него. Если она меньше 5, сохраняемую цифру оставляют, а если равна 5 или больше — увеличивают на единицу.

При округлении до целых оставляют единицы, до десятых — одну цифру после запятой, до сотых — две. Все цифры правее выбранного разряда отбрасывают, но первая из них определяет изменение последней сохраняемой цифры. Если увеличивается цифра 9, возникает перенос: например, 2,98 до десятых даёт 3,0.

Разряд задаёт точность результата, потому что соседние числа с таким последним разрядом удалены друг от друга на одну единицу этого разряда. Поэтому при округлении до целых ошибка не превышает 0,5, до десятых — 0,05, до сотых — 0,005. Точное отклонение проверяют вычитанием и нахождением модуля разности.

Способы приближения десятичных дробей

Сначала определите, какой способ требуется: получить число строго ниже, строго выше или выбрать ближайшее округлением. Затем проверьте разряд в записи результата. Наконец сравните результат с исходным числом и убедитесь, что количество оставленных цифр соответствует условию.

Разбор задач

Задача 1

Записать число 7,384 с точностью до десятых приближённо с недостатком и с избытком.

1. До десятых нужно оставить одну цифру после запятой, то есть цифру 3.
2. Число с одной цифрой после запятой ниже 7,384 — это 7,3.
3. Ближайшее число с одной цифрой после запятой выше исходного — 7,4.

Ответ: с недостатком 7,3, с избытком 7,4. Действительно, 7,3 < 7,384 < 7,4.

Задача 2

Округлить число 12,746 до сотых.

1. До сотых нужно сохранить две цифры после запятой: 12,74.
2. Первой отбрасываемой цифрой является 6, стоящая в разряде тысячных.
3. Так как 6 больше 5, цифру сотых 4 увеличиваем на единицу и получаем 5.

Ответ: 12,746 ≈ 12,75. Цифра 6 не записывается в ответ, а только помогает выбрать направление округления.

Задача 3

Длина маршрута равна 18,67 км. Округлить её до целых километров и определить, на сколько километров округлённое значение отличается от исходного.

1. До целых оставляем цифру единиц. Первая цифра после неё — 6, поэтому 18 увеличиваем до 19.
2. Находим модуль разности: |19 − 18,67| = 0,33 км.
3. Сравниваем результат с точностью округления до целых: 0,33 меньше 0,5.

Ответ: длина маршрута примерно 19 км, отличие округлённого значения от исходного равно 0,33 км. Округление выполнено с избытком, потому что 19 больше 18,67.

Типичные ошибки

При округлении иногда сохраняют цифры после нужного разряда. Это происходит, когда округление путают с простым обрезанием записи. Проверьте себя: после округления должны остаться только цифры до выбранного разряда.

Некоторые смотрят на последнюю сохраняемую цифру, а не на первую отбрасываемую. Решение определяет именно цифра сразу справа от выбранного разряда. Например, в 5,237 при округлении до сотых смотрят на 7, а не на 3.

Приближение с недостатком и избытком путают из-за одинакового количества цифр в записи. Количество цифр не показывает положение числа относительно исходного. Сравните числа знаками < или > и проверьте их положение на числовой прямой.

При увеличении цифры 9 иногда забывают выполнить перенос в соседний разряд. Из-за этого получают неверную запись, например 2,9 вместо 3,0 при округлении 2,98 до десятых. После увеличения проверьте, не стала ли цифра равна 10.

Связь с другими темами

До приближения нужно уметь сравнивать десятичные дроби и понимать разряды десятичной записи. Именно разряды помогают определить, какую цифру оставить и с какой сравнить исходное число.

Приближения постоянно встречаются в задачах с величинами и измерениями. Длину, массу, время или стоимость часто записывают округлённо, потому что измерительный прибор не даёт бесконечно точного результата.

Эта тема подготавливает к работе с приближёнными значениями и оценке точности вычислений. Умение находить отклонение помогает понять, можно ли доверять полученному результату в конкретной задаче.

Что запомнить

• Приближённое число заменяет исходное более удобным близким числом.
• Приближение с недостатком меньше исходного, а с избытком — больше.
• Чтобы округлить число, сначала укажи разряд, до которого округляешь.
• Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, последнюю сохраняемую цифру не меняют.
• Если первая отбрасываемая цифра равна 5 или больше, последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.
• При округлении цифры после выбранного разряда отбрасывают.
• После округления проверь, что запись сохраняет нужную точность.