"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Десятичные дроби позволяют записывать части единицы и удобно считать с величинами, например с деньгами, длиной и массой. При сложении и вычитании нужно совместить одинаковые разряды, а при умножении и делении — правильно учесть запятую. Если запомнить эти правила, можно уверенно выполнять действия и проверять, похож ли ответ на правдоподобный. Нули справа после запятой при этом можно дописывать или убирать без изменения числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — число, записанное с помощью запятой, например 4,27. Цифры слева от запятой обозначают целые единицы, а цифры справа — доли единицы: 2 в записи 4,27 означает две десятых, 7 — семь сотых. Такая запись помогает выражать части целого и выполнять вычисления с величинами.
Разряд десятичной дроби — место цифры, показывающее, какую долю единицы она обозначает. Сразу после запятой находятся десятые, затем сотые, тысячные и следующие разряды. Разряды нужны, чтобы понимать значение каждой цифры и правильно складывать или вычитать дроби.
Умножение десятичных дробей — действие, при котором сначала находят произведение чисел без запятых, а затем определяют место запятой в ответе. Например, при умножении 1,2 на 0,3 сначала вычисляют 12 · 3. Это правило позволяет пользоваться знакомым умножением натуральных чисел и не терять доли единицы.
Деление десятичной дроби можно выполнить, умножив делимое и делитель на одну и ту же степень числа 10. Например, при делении на 0,4 оба числа можно умножить на 10, чтобы делитель стал натуральным. Преобразование нужно для удобства вычислений: значение частного при этом не меняется.
При сложении и вычитании запятые ставят одна под другой. Тогда десятые оказываются под десятыми, сотые — под сотыми, и каждая цифра отвечает за ту же долю единицы, что и цифра над ней. Если записать числа не по разрядам, получится сложить, например, десятые с сотыми, а это разные доли. При необходимости к дроби справа дописывают нули, чтобы после запятой в числах было одинаковое количество цифр.
При умножении сначала временно убирают запятые и перемножают получившиеся натуральные числа. Это удобно, потому что правило умножения остаётся привычным, а положение запятой учитывается отдельно. В результате должно быть столько знаков после запятой, сколько их было в обоих множителях вместе: например, у 1,2 и 0,3 всего два таких знака. Если цифр в произведении не хватает, слева дописывают ноль.
При делении на десятичную дробь запятую переносят в делимом и делителе на одинаковое число разрядов. Это равносильно умножению обоих чисел на одну и ту же степень 10, поэтому отношение чисел, то есть частное, сохраняется. Запятую переносят до тех пор, пока делитель не станет натуральным числом. Например, 8,64 : 0,24 превращается в 864 : 24.
Если при делении натуральных чисел остаётся остаток, вычисление можно продолжить с десятыми и более мелкими долями. Для этого в частном ставят запятую, а к делимому приписывают ноль и делят дальше. Приписанный ноль позволяет рассмотреть остаток как число меньшего разряда, не изменяя делимого: например, 1 можно представить как 1,0. Так получают точное частное или его значение с нужной точностью.
В выражениях с десятичными дробями сохраняются порядок действий и свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание, если скобки не задают иной порядок. Эти правила помогают вычислять выражения по шагам. Оценка ответа даёт проверку: если 3,24 умножают на 1,5, результат должен быть больше 3,24, но меньше 6,48.
| Действие | Как выполнять | Как учитывать запятую | Проверка результата |
|---|---|---|---|
| Сложение | Записать числа по разрядам и сложить, как натуральные. | В записи запятые стоят одна под другой; в ответе запятая под запятыми. | Прибавление положительного числа увеличивает результат. |
| Вычитание | Записать числа по разрядам и вычесть, как натуральные. | В записи запятые стоят одна под другой; в ответе запятая под запятыми. | Разность меньше уменьшаемого, если вычитают положительное число. |
| Умножение | Перемножить числа без запятых. | В ответе отсчитать справа общее число знаков после запятой в множителях. | Оценить, каким должно быть произведение по величине. |
| Деление на натуральное число | Делить поразрядно; если нужно, продолжить деление с остатком. | В частном поставить запятую, когда в делимом переходят за запятую. | Умножить частное на делитель и сравнить с делимым. |
| Деление на десятичную дробь | Умножить оба числа на одну степень 10, затем разделить. | Перенести запятые в делимом и делителе одинаково. | Проверить умножением частного на исходный делитель. |
Найдите в таблице нужное действие и сначала выполните преобразование, которое указано в среднем столбце. Затем проверьте, что запятая учтена по соответствующему правилу. Для быстрой проверки сопоставьте ответ с ожидаемым размером результата.
Вычислите 7,38 + 2,6. Чтобы сложить числа, нужно совместить разряды: 2,6 — это 2,60, поэтому теперь у дробей одинаковое число знаков после запятой. Записываем их друг под другом и складываем справа налево, как натуральные числа. В ответе запятая остаётся под запятыми.
Ответ: 9,98. Ноль понадобился только для удобной записи и не изменил значение слагаемого. Сложение по разрядам помогает не перепутать десятые и сотые. Приближённая оценка подтверждает, что сумма близка к 10.
Вычислите 3,24 · 1,5. Сначала решим, сколько цифр оставить после запятой: в первом множителе две цифры после неё, во втором — одна. Значит, произведение должно содержать три знака после запятой. Теперь умножим 324 на 15, не учитывая запятые.
Ответ: 4,86. Ноль в записи 4,860 можно убрать, потому что он стоит справа после запятой и значение числа не меняет. Проверка по величине помогает заметить ошибку, если запятую поставили слишком далеко влево или вправо. В частности, результат должен быть больше исходного числа, так как 1,5 больше единицы.
Вычислите 8,64 : 0,24. Делитель 0,24 — десятичная дробь, поэтому сначала превратим его в натуральное число. Для этого перенесём запятые в обоих числах на два разряда вправо, то есть умножим делимое и делитель на 100. Частное при таком одинаковом изменении чисел останется прежним.
Ответ: 36. Равенство при проверке показывает, что частное найдено верно. Важно перенести запятую и в делимом, и в делителе, иначе изменится отношение чисел. Получившееся натуральное деление выполнять проще, чем исходное.
Ошибка: складывать цифры, стоящие в одинаковых позициях записи, не выровняв запятые. Тогда десятые могут оказаться рядом с сотыми, и вычисление даст неверный результат. Так происходит, когда числа записывают без проверки разрядов. Перед сложением или вычитанием поставьте запятые друг под другом и убедитесь, что складываете одинаковые разряды.
Ошибка: при умножении учитывать знаки после запятой только в одном множителе. Из-за этого запятую в произведении ставят не на том месте, потому что доли есть в обоих числах. Сосчитайте цифры после запятой отдельно в каждом множителе и сложите их количество. Затем сравните ответ с примерной оценкой произведения.
Ошибка: при делении на десятичную дробь перенести запятую только в делителе. Тогда изменяется лишь одно из двух чисел, а значит, меняется и частное. Запомните, что делимое и делитель нужно умножать на одну и ту же степень 10. Проверьте преобразование: оба числа должны получить одинаковое количество дополнительных разрядов.
Ошибка: считать, что ноль справа после запятой меняет число. Например, 2,5 и 2,50 обозначают одно и то же количество, но запись с нулём может помочь выровнять разряды. Путаница возникает, если переносить на десятичные дроби правило о приписывании цифр к целому числу. Для проверки прочитайте дроби словами: пять десятых и пятьдесят сотых равны.
Чтобы вычислять с десятичными дробями, нужно понимать разряды десятичной записи и уметь умножать и делить натуральные числа. Также пригодятся свойства арифметических действий и правила порядка действий в выражениях. Эти знания связывают запись числа с тем, как его вычислять.
Десятичные дроби используют в задачах с деньгами, длиной, массой и временем, а также при работе с выражениями и уравнениями. Например, цена товара или длина отрезка часто записаны с цифрами после запятой. Умение выполнять такие действия помогает находить неизвестные величины и получать осмысленные ответы в практических задачах.
Почему при сложении десятичных дробей нужно выравнивать запятые?
Так друг под другом оказываются одинаковые разряды: десятые складываются с десятыми, сотые — с сотыми. Если запятые не выровнять, можно сложить доли разной величины.
Можно ли дописывать нули в конце десятичной дроби?
Да, нули справа после запятой не меняют значение числа. Например, 2,5 = 2,50: в обоих случаях это две целых и пять десятых.
Как определить, куда поставить запятую в произведении?
Сначала умножьте числа, временно не учитывая запятые. Затем отсчитайте справа столько цифр, сколько знаков после запятой было в обоих множителях вместе.
Зачем при делении переносят запятые сразу в двух числах?
Делимое и делитель умножают на одну и ту же степень числа 10. Тогда частное сохраняется, а делитель становится натуральным числом, с которым удобнее делить.
Что делать, если деление не заканчивается после запятой?
Можно приписывать к делимому нули после запятой и продолжать деление. Если деление продолжается бесконечно, в зависимости от задачи записывают нужное количество цифр или округляют результат.
2.8. Вычисления с десятичными дробями
