"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Складывать и вычитать многозначные числа можно устно или столбиком. Для устного счёта числа раскладывают на сотни, десятки и единицы либо заменяют близкими круглыми числами. При письменных вычислениях разряды записывают один под другим и действуют по порядку, начиная с единиц. Если при сложении получается десять или больше, выполняют перенос; если при вычитании единиц не хватает — заём. Выбор способа зависит от чисел, а ответ полезно проверять обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Устное сложение — это сложение чисел с помощью удобных вычислений в уме, например разложением числа на разрядные слагаемые. Разрядные слагаемые показывают, сколько в числе сотен, десятков и единиц: 347 = 300 + 40 + 7. Такой приём помогает считать по частям, не записывая каждое действие столбиком.
Устное вычитание — это вычитание в уме с использованием разложения чисел и связи вычитания со сложением. Например, можно представить число как сумму удобных частей или вычесть близкое круглое число. Это нужно, чтобы не выполнять сложные действия с каждой цифрой отдельно и быстрее находить разность.
Письменное сложение — это вычисление, при котором числа записывают друг под другом по разрядам и складывают разряды с переносом единицы в следующий разряд. Например, единицы складывают с единицами, десятки — с десятками. Запись столбиком помогает не перепутать разряды и удобно работать с большими числами.
Письменное вычитание — это вычисление столбиком, при котором вычитают разряд за разрядом, при необходимости занимая единицу старшего разряда. Занять — значит обменять одну единицу большего разряда на десять единиц соседнего меньшего. Этот способ нужен, когда цифры уменьшаемого в каком-либо разряде недостаточно для вычитания.
Разрядный состав числа помогает выполнять устные вычисления, потому что каждая его часть имеет понятное значение. Число 240 можно представить как 200 + 40, а 130 — как 100 + 30. Тогда складываем сотни с сотнями, десятки с десятками и соединяем результаты: 300 + 70. При вычитании разложение тоже помогает: из сотен вычитают сотни, из десятков — десятки, а если части неудобны, число можно представить иначе.
При устном счёте слагаемые можно менять местами и группировать, потому что от этого сумма не меняется. Например, в выражении 18 + 25 + 2 удобно сначала сложить 18 и 2: получается 20, а затем прибавить 25. Так появляются круглые числа, с которыми легче считать. Перестановка или группировка помогает только тогда, когда все слагаемые остаются на месте и не меняют значения.
При письменном вычислении разряды записывают один под другим, чтобы выполнять действия с одинаковыми единицами. Если цифра десятков окажется под цифрой единиц, получится сложение или вычитание разных разрядов, а ответ будет неверным. Поэтому числа выравнивают по правому краю: справа находятся единицы, левее — десятки, затем сотни и тысячи. После этого удобно двигаться от младшего разряда к старшему.
При сложении в каждом разряде складывают цифры и, если нужно, перенос из предыдущего разряда. Если получилось, например, 14 единиц, записывают 4 единицы, а 1 десяток переносят к десяткам. Это происходит потому, что десять единиц можно обменять на один десяток. Так же поступают с десятками: десять десятков составляют одну сотню.
При вычитании иногда цифры уменьшаемого в текущем разряде не хватает. Тогда из соседнего старшего разряда занимают одну единицу, которая превращается в десять единиц текущего разряда. Если между нужными разрядами стоят нули, заём проходит через них: каждый ноль после обмена становится девяткой, а в разряде, куда заняли, появляется 10. Это правило сохраняет значение всего числа: меняется лишь способ представить его разрядный состав.
| Способ | Как записывают числа | Основной приём | Когда удобно применять |
|---|---|---|---|
| Устное сложение | Числа можно не записывать или записать в строку. | Раскладывают на разрядные слагаемые, переставляют и группируют слагаемые. | Когда числа имеют удобный разрядный состав или дают круглую сумму. |
| Устное вычитание | Числа можно не записывать или записать в строку. | Вычитают разрядные части или заменяют число близким круглым. | Когда разность легко найти в уме и удобно проверить сложением. |
| Письменное сложение | Столбиком, разряды друг под другом. | Складывают от единиц к старшим разрядам, выполняя перенос. | Для больших чисел и вычислений с несколькими разрядами. |
| Письменное вычитание | Столбиком, разряды друг под другом. | Вычитают от единиц к старшим разрядам, при необходимости занимая. | Когда устно считать неудобно, особенно при нехватке единиц разряда. |
Сначала оцени, легко ли выполнить действие в уме: попробуй разложить числа или получить круглое число. Если приходится долго удерживать промежуточные результаты, выбери столбик. В любом случае после вычисления проверь, разумен ли ответ.
Сотни удобно сложить с сотнями, а десятки — с десятками. В числе 240 две сотни и четыре десятка, в числе 130 — одна сотня и три десятка. Единиц в обоих числах нет, поэтому достаточно соединить результаты разрядов.
Ответ: 370.
Число 198 близко к круглому числу 200, поэтому вычитать его по разрядам неудобнее, чем сначала вычесть 200. Но 200 на 2 больше, чем 198: вычитая 200, мы убираем лишние 2. Чтобы исправить это, нужно вернуть эти 2 к полученной разности.
Ответ: 305.
Запишем единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями, тысячи под тысячами. В единицах 6 меньше 9, а в десятках стоит ноль, поэтому заём придётся выполнить через разряды. После этого вычтем цифры по порядку и проверим результат сложением.
Ответ: 1 847. Проверка: 1 847 + 2 859 = 4 706.
Если при записи столбиком цифры разных разрядов стоят не одна под другой, складываются или вычитаются, например, десятки с единицами. Так бывает, когда числа выравнивают по левому краю или не следят за разрядами. Перед вычислением проверь: единицы должны находиться в одном столбце, десятки — в следующем слева, затем сотни и тысячи.
При сложении можно забыть перенести десяток, если сумма цифр в разряде равна десяти или больше. Обычно ошибку допускают, когда записывают сразу всю сумму разряда и переходят дальше. Сложи цифры, оставь в этом разряде только единицы, а десяток отметь для следующего; затем проверь сложение обратным действием.
При вычитании заём не просто увеличивает текущую цифру: цифра старшего разряда, откуда заняли, должна уменьшиться на единицу. Если этого не сделать, значение числа изменится и следующие разряды тоже будут вычислены неверно. Проверяй запись после каждого займа: в текущем разряде прибавилось 10 единиц, в старшем стало на 1 меньше.
При вычитании близкого круглого числа можно неверно компенсировать изменение. Например, если вместо 198 вычесть 200, разность станет на 2 меньше нужной, поэтому к ней надо прибавить 2, а не вычесть. Ошибку обнаружит проверка: сложи предполагаемую разность с 198 и сравни с 503; должно получиться исходное число.
Для таких вычислений нужно знать разрядный состав многозначных чисел и названия разрядов: единицы, десятки, сотни, тысячи. Устные приёмы опираются на связь сложения и вычитания: вычитание можно проверить сложением. Перестановка и группировка слагаемых связаны с переместительным и сочетательным свойствами сложения. Навыки устного и письменного счёта пригодятся в текстовых задачах, а также при изучении умножения и деления многозначных чисел.
Как понять, каким способом удобнее вычислять — устно или столбиком?
Если числа легко разложить на сотни и десятки или заменить круглыми, обычно удобно считать устно. Для длинных чисел и вычислений с несколькими переносами или займами надёжнее использовать столбик.
Почему при сложении десяток переносят в следующий разряд?
Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда: например, десять единиц — это один десяток. Поэтому десяток записывают в следующем разряде, а в текущем оставляют единицы.
Что делать, если при вычитании в разряде уменьшаемого стоит ноль?
Нужно найти ближайший слева разряд, в котором есть ненулевая цифра, и занять оттуда единицу. Она превращается в десять единиц соседнего разряда, а при переходе через ноль этот разряд получает 10, но отдаёт 1 дальше.
Как проверить результат вычитания?
К разности прибавь вычитаемое: должно получиться уменьшаемое. Например, если 15 − 7 = 8, проверка такая: 8 + 7 = 15.
Можно ли при устном вычислении заменять число близким круглым числом?
Можно, если затем правильно компенсировать изменение. Например, при вычитании 198 удобно сначала вычесть 200, а потом прибавить 2 к полученной разности.
2.7. Устное и письменное сложение и вычитание чисел
