"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Умножение помогает быстро находить сумму одинаковых слагаемых и решать задачи, например о стоимости нескольких одинаковых предметов. Простые вычисления удобно выполнять устно: менять множители местами, группировать их или раскладывать число на разрядные слагаемые. Для больших чисел используют умножение столбиком: находят частичные произведения и складывают их. Важно следить за разрядами и не забывать переносить десятки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение натуральных чисел — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12: число 3 сложили четыре раза. Умножение помогает короче записывать такие суммы и быстро находить их значение.
Множитель — каждое из чисел, которые перемножают. В записи 4 · 3 число 4 показывает, сколько раз берут слагаемое, а число 3 — чему равно это слагаемое. Множители подсказывают, какую сумму заменяет умножение.
Произведение — результат умножения, а также выражение, в котором числа соединены знаком умножения. В записи 4 · 3 = 12 выражение 4 · 3 и число 12 называют произведением. Этот термин нужен, чтобы отличать вычисляемое выражение от его ответа.
Письменное умножение столбиком — способ вычисления, при котором цифры чисел располагают друг под другом по разрядам и находят частичные произведения. Например, отдельные результаты умножения на единицы и десятки записывают строками, а потом складывают. Такой способ помогает аккуратно считать многозначные числа.
Переместительное свойство означает, что множители можно менять местами: 4 · 25 = 25 · 4. Сочетательное свойство позволяет объединять множители в удобные группы: 2 · 5 · 17 можно посчитать как (2 · 5) · 17. Сначала получается 10, а умножить на 10 проще, чем выполнять несколько неудобных действий подряд.
Разложение числа на разрядные слагаемые помогает умножать его по частям. Например, 24 — это 20 + 4, поэтому 24 · 3 = (20 + 4) · 3 = 20 · 3 + 4 · 3. Такой способ верен, потому что каждая часть числа повторяется по три раза, а вместе они составляют исходное число. После вычисления частей их результаты складывают.
Круглое число можно представить как произведение ненулевой части и единицы с нужным количеством нулей: 20 = 2 · 10, а 300 = 3 · 100. Поэтому при умножении на 20 сначала умножают на 2, а затем результат — на 10. Умножение на 10 увеличивает каждое значение разряда в десять раз, поэтому в записи ответа появляется один ноль; для множителя 100 учитывают два нуля.
При умножении столбиком начинают с младшего разряда — единиц, чтобы сразу записать единицы ответа на своё место. Каждую цифру верхнего числа умножают на цифру нижнего, записывая в строке частичного произведения единицы результата. Если получилось, например, 18 единиц, записывают 8, а 1 десяток переносят в следующий разряд и прибавляют к следующему умножению. Так ни один разряд не теряется.
Если нижний множитель многозначный, каждую его цифру умножают на верхнее число отдельно. Умножение на десятки даёт десятки, поэтому вторую строку частичного произведения сдвигают на один разряд влево. При сотнях строку сдвинули бы на два разряда: значение результата зависит не только от цифры, но и от её места. Затем частичные произведения складывают по разрядам.
| Ситуация | Устный способ | Письменный способ |
|---|---|---|
| Умножение на однозначное число | Разложить число на разрядные слагаемые и умножить каждое отдельно. | Умножать цифры справа налево, записывая единицы и перенося десятки. |
| Умножение на круглое число | Умножить на ненулевую часть и учесть нули множителя. | Умножить столбиком на ненулевую цифру, затем записать нули круглого множителя. |
| Умножение многозначных чисел | Разложить один множитель на слагаемые и сложить частичные результаты. | Найти частичные произведения по цифрам множителя, сдвинуть записи по разрядам и сложить. |
| Как проверить результат | Вычислить другим удобным способом или разложить множитель на части. | Разделить произведение на один из множителей и проверить, получился ли другой. |
Сначала посмотрите на числа и выберите способ, который позволит меньше считать и не запутаться. Для простых примеров обычно хватает устного вычисления, а для больших чисел удобнее столбик. Проверка помогает заметить ошибку, но сама по себе не заменяет внимательного счёта.
Вычислите 24 · 3 удобным устным способом. Число 24 легко разделить на десятки и единицы, а умножение каждой части на 3 выполняется просто. Такой разбор позволяет видеть, откуда складывается результат.
Ответ: 72. Мы заменили умножение целого числа двумя более простыми вычислениями. Проверить ответ можно сложением трёх одинаковых чисел 24, хотя это будет менее удобно.
Вычислите 36 · 20 без умножения столбиком. Число 20 состоит из 2 десятков, то есть 20 = 2 · 10. Значит, сначала нужно найти 36 · 2, а потом учесть умножение на 10.
Ответ: 720. Ноль в ответе появился потому, что мы умножили 72 на 10, а не просто приписали его без объяснения. Для проверки можно заметить, что 36 · 2 десятка — это 72 десятка, или 720.
Вычислите 247 · 36 столбиком и проверьте результат. В числе 36 есть 6 единиц и 3 десятка, поэтому понадобятся два частичных произведения. Второй результат нужно записать со сдвигом: он показывает умножение на 30, а не на 3.
Ответ: 8892. Сдвиг второй строки важен, потому что цифра 3 в числе 36 означает не три единицы, а три десятка. Деление подтвердило результат: 8892 : 36 = 247.
При умножении на круглое число иногда забывают нули множителя: например, получают 72 вместо 720 в примере 36 · 20. Так случается, когда сначала умножают на ненулевую цифру и считают это ответом. Проверьте, на сколько умножаете: 20 — это два десятка, а не просто 2. Можно ещё сравнить ответ с исходным числом: произведение 36 · 20 должно быть больше, чем 36 · 2.
В столбике частичное произведение десятков могут записать без сдвига, будто цифра десятков означает единицы. Причина в том, что при записи забывают: в числе 36 цифра 3 стоит в разряде десятков. Перед сложением проверьте, к какому разряду относится каждая строка; для умножения на десятки начало второй строки сдвигают влево. Можно заменить 247 · 30 на 247 · 3 · 10 и убедиться, что результат должен быть в десять раз больше 247 · 3.
Ещё одна ошибка — записать только цифру единиц результата и забыть перенести десятки в следующий разряд. Например, при умножении 6 · 7 получается 42: нужно записать 2, но ещё 4 десятка прибавить к следующему вычислению. Ошибку можно поймать, если после каждого шага отдельно отмечать перенос. Полезно проверить готовое произведение делением.
Частичные произведения можно сложить неверно, если цифры расположены неровно. Обычно так происходит, когда не выравнивают единицы под единицами, десятки под десятками и сотни под сотнями. Перед сложением посмотрите, стоят ли цифры каждой строки строго в своих разрядах. Затем сложите числа по разрядам и проверьте сумму обратным действием или другим способом.
Для умножения нужно знать таблицу умножения: она помогает быстро находить произведения однозначных чисел. Разрядный состав чисел нужен, чтобы раскладывать число, например 247 = 200 + 40 + 7, и правильно записывать вычисления столбиком. Сложение многозначных чисел понадобится, когда нужно сложить частичные произведения.
Умножение помогает решать задачи о стоимости и количестве: чтобы узнать цену нескольких одинаковых предметов, цену одного умножают на их число. Те же способы вычислений пригодятся позже при умножении десятичных дробей. Понимание разрядов поможет верно поставить запятую в таких вычислениях.
Когда удобнее умножать устно, а когда — столбиком?
Устный способ удобен для небольших чисел и примеров, которые легко упростить разложением или перестановкой множителей. Столбиком надёжнее умножать большие числа, когда вычисления в уме становятся сложными.
Почему при умножении на круглое число в ответе появляются нули?
Круглое число состоит из ненулевой цифры и одного или нескольких нулей, например 20 = 2 · 10. Сначала умножают на ненулевую часть, а затем учитывают множитель 10, 100 и так далее, поэтому к результату добавляются нули.
С какого разряда начинают умножение столбиком?
Сначала умножают на цифру единиц нижнего множителя. Затем переходят к десяткам, сотням и другим разрядам.
Куда записывать десятки, получившиеся при умножении цифр?
В частичном произведении записывают цифру единиц, а десятки переносят в следующий разряд. Их прибавляют к результату умножения следующих цифр.
Как проверить результат умножения?
Можно разделить произведение на один из множителей: должно получиться другое число. Также можно разложить множитель на слагаемые, выполнить умножение по частям и сравнить сумму с ответом.
2.8. Устное и письменное умножение чисел
