"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Степень числа — короткая запись произведения одинаковых множителей. Например, вместо 5 · 5 · 5 пишут 5³: число 5 повторяется три раза. Такая запись помогает короче выражать вычисления и работать с числовыми выражениями. В записи степени важно различать основание — повторяющееся число — и показатель, который показывает количество множителей. Вторая степень называется квадратом, а третья — кубом числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень числа — запись aⁿ, которая обозначает произведение n одинаковых множителей a. Например, 4³ означает 4 · 4 · 4. Такая запись нужна, чтобы коротко показывать повторяющееся умножение.
Основание степени — число, которое повторяется множителем в записи степени. В выражении 6⁴ основание — 6, потому что именно оно входит в произведение несколько раз. По основанию можно понять, какое число умножают само на себя.
Показатель степени — число, указывающее, сколько одинаковых множителей содержится в произведении. В записи 6⁴ показатель равен 4, поэтому множитель 6 встречается четыре раза. Показатель помогает не сбиться при раскрытии степени.
Квадрат числа — его вторая степень, а куб числа — третья степень. Поэтому a² = a · a, а a³ = a · a · a. Эти названия позволяют быстро отличить произведение из двух одинаковых множителей от произведения из трёх.
Если в произведении несколько раз записан один и тот же множитель, его можно заменить степенью. Например, 5 · 5 · 5 = 5³: основанием становится повторяющееся число 5, а показателем — количество его повторений, то есть 3. Показатель считают по множителям, а не по знакам умножения: между тремя множителями стоят только два знака умножения.
Степень читают, называя сначала основание, а затем показатель: 5³ — «пять в третьей степени». В записи aⁿ буква a занимает место основания, а n — место показателя, поэтому смысл не меняется, даже если числа заменены буквами. Например, b⁴ — это b · b · b · b; показатель 4 показывает число множителей b.
Возвести число в квадрат — значит умножить его на себя один раз, чтобы получить два одинаковых множителя. Например, 6² = 6 · 6 = 36. Квадрат не означает «умножить на два»: число 6 при удвоении дало бы 12, а квадрат получается именно умножением 6 на 6.
Возвести число в куб — значит взять три одинаковых множителя, то есть умножить число на себя два раза. Например, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Умножение 2 на 3 дало бы 6, поэтому куб и утроение числа — разные действия.
Если показатель равен 1, множитель только один, поэтому a¹ = a. Например, 9¹ = 9: записывать число как произведение из нескольких множителей не требуется. Степень с показателем 0 здесь не рассматривается.
| Запись | Как называется | Произведение одинаковых множителей | Пример |
|---|---|---|---|
| aⁿ | Степень числа | a · a · … · a (n множителей) | 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 |
| a² | Квадрат числа a | a · a | 6² = 6 · 6 = 36 |
| a³ | Куб числа a | a · a · a | 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 |
| a¹ | Первая степень числа a | a | 9¹ = 9 |
Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить число одинаковых множителей, а затем прочитать пример. В строке aⁿ буква n показывает общее количество множителей. Для квадрата и куба можно сразу вспомнить, сколько раз записать основание.
Задача 1. Записать произведение 4 · 4 · 4 · 4 степенью и указать её основание и показатель. Сначала найдём повторяющийся множитель, затем посчитаем, сколько раз он записан. Это позволит определить обе части записи степени.
Ответ: 4⁴; основание — 4, показатель — 4.
Задача 2. Вычислить 7² и 3³, предварительно записав каждую степень произведением. Чтобы не принять квадрат за удвоение, а куб за утроение, сначала раскроем запись. Затем умножим одинаковые множители и получим значения степеней.
Ответ: 7² = 49, 3³ = 27.
Задача 3. Сравнить значения 2³ и 3² и объяснить, почему больший показатель не обязательно означает большее значение степени. Здесь показатели равны 3 и 2, но основания тоже разные. Поэтому сравнивать только показатели недостаточно: надо вычислить оба выражения.
Ответ: 2³ < 3²; больший показатель сам по себе не гарантирует большего значения.
Можно перепутать основание и показатель: например, решить, что в 3⁴ четыре повторяется три раза. Так бывает, если смотреть на числа рядом, не называя их роли. Проверь себя: основание стоит внизу, а верхнее маленькое число показывает, сколько раз основание входит в произведение.
Иногда квадрат считают удвоением числа, а куб — утроением. Названия могут подсказать числа 2 и 3, но они показывают количество множителей, а не число, на которое надо умножить основание. Для проверки раскрой запись: 5² = 5 · 5, а 5³ = 5 · 5 · 5.
Ещё одна ошибка — считать показатель числом повторений знака умножения. В произведении 4 · 4 · 4 всего два знака умножения, но три множителя, поэтому это 4³. Проверяй количество самих чисел, а не промежутков между ними.
Наконец, больший показатель не всегда даёт большее значение степени. Это неверное ожидание возникает, если сравнивать только верхние числа и забывать об основании. Вычисли обе степени как произведения: например, 2³ = 8, а 3² = 9, поэтому здесь больше вторая степень.
Чтобы понимать степени, нужно уметь умножать натуральные числа и видеть произведение одинаковых множителей. Степенная запись помогает короче записывать повторное умножение и встречается при работе с порядком действий и числовыми выражениями. Квадрат числа связан с площадью квадрата, а куб — с объёмом куба: эти геометрические величины также используют умножение одинаковых чисел.
Что означает запись aⁿ?
Она означает произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a. Например, a⁴ = a · a · a · a.
Как определить основание и показатель степени?
В записи aⁿ основание — это a, а показатель — n. Основание повторяется в произведении, а показатель показывает, сколько раз.
Почему квадрат числа — это умножение числа на себя?
Квадрат — это вторая степень числа, поэтому в произведении два одинаковых множителя. Значит, a² = a · a.
Чем возведение в куб отличается от умножения на три?
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: a³ = a · a · a. Это не то же самое, что умножить число на 3.
Как записать произведение одинаковых множителей степенью?
Множитель записывают как основание, а число его повторений — как показатель. Например, 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁴.
2.9. Степень числа. Квадрат и куб числа
