"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Степень числа — короткая запись произведения одинаковых множителей. Она помогает не переписывать длинные произведения и быстро видеть, сколько раз число умножается само на себя. В записи aⁿ число a называют основанием, а n — показателем: он показывает количество множителей. Вторая степень называется квадратом, третья — кубом. Эти понятия помогают вычислять площади квадратов и объёмы кубов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени: aⁿ означает произведение n множителей a. Например, 4 · 4 · 4 записывают как 4³. Такая запись нужна, чтобы короче обозначать длинные произведения и сразу видеть их устройство.
Основание степени — число, которое повторяется множителем. В записи 6⁴ основание равно 6: именно это число входит в произведение несколько раз. По основанию можно понять, какой множитель повторяется, а значит, восстановить исходное произведение.
Показатель степени — число, которое показывает, сколько одинаковых множителей входит в произведение. В записи 6⁴ показатель равен 4, то есть произведение состоит из четырёх шестёрок. В этой теме показатель — натуральное число, поэтому он не равен нулю; он помогает точно определить длину произведения.
Вторая степень числа называется его квадратом, а третья — кубом. Записи a² и a³ раскрываются так: a² = a · a, a³ = a · a · a. Эти названия особенно удобны, когда речь идёт о площади квадрата и объёме куба.
Степенная запись заменяет повторяющиеся одинаковые множители более коротким обозначением. Например, произведение 8 · 8 · 8 · 8 · 8 можно записать как 8⁵: вместо пяти восьмёрок достаточно указать основание и показатель. Такая запись делает вычисления и сравнение произведений удобнее, потому что количество множителей видно сразу.
Основание и показатель отвечают на разные вопросы. Основание сообщает, какое число умножают, а показатель — сколько раз это число встречается множителем. Поэтому 2⁴ и 5⁴ имеют одинаковое количество множителей, но разные числа в произведении; а 2³ и 2⁵ используют одну и ту же двойку, но в первом произведении её три, а во втором — пять.
Чтобы вычислить степень натурального числа, нужно записать основание нужное количество раз и выполнить умножение. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3: сначала 3 · 3 = 9, затем 9 · 3 = 27, после этого 27 · 3 = 81. Такой порядок помогает не спутать показатель с действием и последовательно проверить вычисление.
Квадрат числа связан с площадью: площадь квадрата равна произведению его стороны на саму себя. Если сторона равна a, то площадь равна a · a = a²; при измерении в метрах ответ выражают в квадратных метрах. Куб числа связан с объёмом: объём куба равен произведению трёх одинаковых рёбер, то есть a · a · a = a³, а единицы объёма будут кубическими.
Степень нельзя понимать как умножение основания на показатель, потому что показатель только считает повторяющиеся множители. Например, 3⁴ означает 3 · 3 · 3 · 3 и равно 81, а выражение 3 · 4 равно 12. Чтобы проверить смысл записи, раскройте степень: в произведении должно оказаться столько оснований, сколько показывает маленькое число сверху.
В таблице можно проверить, как показатель задаёт количество множителей и как из произведения получается значение степени. Читайте каждую строку слева направо: найдите основание и показатель, затем раскройте запись и вычислите произведение. Сравните полученный ответ с последним столбцом.
| Запись | Основание | Показатель | Произведение одинаковых множителей | Значение |
|---|---|---|---|---|
| 2³ | 2 | 3 | 2 · 2 · 2 | 8 |
| 5² | 5 | 2 | 5 · 5 | 25 |
| 3⁴ | 3 | 4 | 3 · 3 · 3 · 3 | 81 |
| 10³ | 10 | 3 | 10 · 10 · 10 | 1000 |
Задача 1. Записать произведение 7 · 7 · 7 · 7 в виде степени и указать её основание и показатель. Сначала найдём, какое число повторяется, а затем посчитаем количество повторений. Это позволит правильно определить обе части записи.
Ответ: 7⁴, основание 7, показатель 4. Полезно проверить запись, раскрыв её: справа должны снова получиться четыре множителя 7. Это подтверждает, что показатель выбран верно.
Задача 2. Вычислить 4² и 2³. Нельзя умножать основание на показатель: сначала нужно раскрыть каждую степень как произведение. После этого остаётся выполнить обычное умножение натуральных чисел.
Ответ: 4² = 16, 2³ = 8. Для проверки можно сравнить раскрытые записи с исходными показателями: в первой два множителя, во второй три. Так исключается ошибка, при которой число основания умножают на показатель.
Задача 3. Квадратная площадка имеет сторону 6 м, а кубическая коробка — ребро 3 дм. Найти площадь площадки и объём коробки. Для первой величины понадобится квадрат числа 6, а для второй — куб числа 3. Единицы измерения выбираем по тому, что именно мы находим.
Ответ: площадь площадки — 36 м², объём коробки — 27 дм³. Квадратные метры относятся к площади, а кубические дециметры — к объёму. Если перепутать эти единицы, вычисление будет записано неверно, даже когда числовой ответ найден правильно.
Ошибка: считать, что 2⁴ = 2 · 4. Её допускают, когда принимают показатель за второй множитель, хотя он только показывает число повторений основания. Проверьте себя раскрытием степени: 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16, а не 8.
Ошибка: записывать 5 · 5 · 5 как 5 · 3. Так бывает, если количество одинаковых множителей записывают рядом с основанием как обычное число. Правильная запись — 5³; проверка простая: раскрытая степень должна содержать ровно три пятёрки.
Ошибка: путать основание и показатель, например считать, что в 3² основание равно 2. Маленькое число сверху может казаться главным, потому что оно заметно отличается по размеру, но оно лишь считает множители. Назовите оба числа вслух: основание 3 повторяется два раза, показатель равен 2.
Ошибка: вычислять квадрат или куб повторным сложением. Это происходит, когда слово «несколько раз» понимают как прибавление, однако степень обозначает умножение одинаковых множителей. Для проверки раскройте запись: 4² = 4 · 4 = 16, а не 4 + 4 = 8.
Чтобы понимать степени, нужно уметь умножать натуральные числа и знать, что множители — числа, которые перемножают, а произведение — результат умножения. Без этого нельзя раскрыть степенную запись и вычислить её значение. Например, для 3³ сначала требуется понять, что нужно перемножить три тройки.
Степенная запись помогает находить площадь и объём, если измерения одинаковы: квадрат появляется при вычислении площади квадрата, а куб — при вычислении объёма куба. Позднее степени пригодятся при изучении их свойств и при записи больших чисел. Поэтому важно с самого начала различать основание, показатель и значение степени.
Что показывает показатель степени?
Показатель показывает, сколько одинаковых множителей входит в произведение. Например, в 5³ три множителя 5: 5 · 5 · 5.
Почему 4³ — это 4 · 4 · 4, а не 4 · 3?
Число 3 в записи 4³ — показатель, а не множитель. Он сообщает, что основание 4 нужно взять три раза и перемножить.
Как отличить основание степени от показателя?
Основание — число, которое повторяется в произведении, а показатель — маленькое число справа сверху, задающее количество повторений. В записи 3² основание равно 3, показатель — 2.
Чем квадрат числа отличается от куба числа?
Квадрат — вторая степень: a² = a · a. Куб — третья степень: a³ = a · a · a.
Как квадрат и куб связаны с площадью и объёмом?
Площадь квадрата со стороной a равна a². Объём куба с ребром a равен a³, поэтому при вычислениях используют квадратные и кубические единицы.
16. Степень числа. Квадрат и куб числа
