"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура, а объём — сколько места занимает тело. Эти величины помогают сравнивать участки и предметы, рассчитывать расход материалов и вместимость сосудов. Площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину, а объём прямоугольного параллелепипеда — умножением длины, ширины и высоты. Для измерения площади используют квадратные, а объёма — кубические единицы; при переходе между соседними единицами действуют разные правила.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь — величина, показывающая, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры; её обозначают буквой S. Единичный квадрат — квадрат, выбранный за мерку, например со стороной 1 см. Сравнивая число таких квадратов, можно понять, какая фигура занимает больше места на плоскости.
Единица площади — квадрат с единичной длиной стороны. Основные единицы площади: мм², см², дм², м² и км². Маленькие единицы удобны для измерения небольших предметов, а крупные — например, для участка или территории.
Объём — величина, показывающая, сколько единичных кубов занимает тело; его обозначают буквой V. Единичный куб служит меркой, которой мысленно заполняют тело без промежутков. Так можно сравнить вместимость коробок или определить, сколько места занимает предмет.
Единица объёма — куб с единичным ребром. Основные единицы объёма: мм³, см³, дм³ и м³. Выбор единицы зависит от размера тела: объём маленькой детали удобнее выражать в см³, а помещения — в м³.
Представим прямоугольник, покрытый одинаковыми квадратами без щелей и наложений. Одна сторона показывает, сколько квадратов получится в каждом ряду, а другая — сколько таких рядов поместится. Поэтому общее число квадратов равно числу квадратов в ряду, умноженному на число рядов. Если длина равна a, а ширина b, получаем формулу S = ab.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Значит, его длина и ширина обе равны одной и той же стороне a. В формуле S = ab вместо обеих величин можно написать a, поэтому получится S = a · a. Краткая запись этого произведения — S = a².
При переходе между соседними единицами длины число меняется в 10 раз, но для площади этого недостаточно. Например, квадрат со стороной 1 м имеет сторону 10 дм; по одной стороне в нём помещается 10 квадратов по 1 дм². Таких рядов тоже 10, поэтому всего получается 10 · 10 = 100 квадратов. Значит, 1 м² = 100 дм², и при переходе к меньшей соседней единице число умножают на 100.
Прямоугольный параллелепипед можно представить как стопку одинаковых слоёв из единичных кубов. В одном слое число кубов находится умножением длины на ширину, а число слоёв задаёт высота. Поэтому количество кубов равно произведению длины, ширины и высоты: V = abc. Каждый из трёх размеров учитывает отдельное направление тела.
У куба длина, ширина и высота равны одному ребру a, поэтому в формуле V = abc все три множителя заменяются на a. Получается V = a · a · a, или V = a³. При переходе к соседней единице объёма учитывают три измерения: например, 1 дм = 10 см по длине, ширине и высоте. Поэтому 1 дм³ = 10 · 10 · 10 = 1000 см³.
В таблице собраны формулы для прямоугольника, квадрата, прямоугольного параллелепипеда и куба, а также правила перевода единиц. Буквы a и b обозначают стороны прямоугольника, а a, b и c — три измерения параллелепипеда. Перед вычислением проверь, что величины записаны в подходящих единицах.
| Объект | Обозначения величин | Формула | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Прямоугольник — площадь | a — длина, b — ширина | S = ab | мм², см², дм², м², км² |
| Квадрат — площадь | a — сторона | S = a² | мм², см², дм², м², км² |
| Прямоугольный параллелепипед — объём | a — длина, b — ширина, c — высота | V = abc | мм³, см³, дм³, м³ |
| Куб — объём | a — ребро | V = a³ | мм³, см³, дм³, м³ |
| Соотношения единиц площади | Соседние единицы | 1 см² = 100 мм²; 1 дм² = 100 см²; 1 м² = 100 дм²; 1 км² = 1 000 000 м² | При переходе к меньшей единице — умножить на 100 |
| Соотношения единиц объёма | Соседние единицы | 1 см³ = 1000 мм³; 1 дм³ = 1000 см³; 1 м³ = 1000 дм³ | При переходе к меньшей единице — умножить на 1000 |
При переходе к большей единице дели на соответствующий коэффициент: например, из дм² в м² — на 100, а из см³ в дм³ — на 1000. Если нужно перескочить через несколько соседних единиц, повтори переход нужное число раз. В строках с соотношениями единиц внимательно проверяй направление перевода.
Найти площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Чтобы определить площадь, сначала выбираем формулу для прямоугольника: S = ab. Обе стороны уже выражены в сантиметрах, поэтому результат будет в квадратных сантиметрах.
Ответ: площадь прямоугольника равна 40 см². Квадратные сантиметры указаны потому, что мы считали квадраты со стороной 1 см, а не отрезки длиной 1 см. Проверить вычисление можно обратным действием: 40 разделить на 8 — получится 5.
Прямоугольный участок имеет длину 12 м и ширину 7 м. Нужно выразить его площадь в квадратных дециметрах. Удобнее сначала найти площадь в квадратных метрах, используя исходные измерения, и только потом перевести результат.
Ответ: площадь участка равна 8400 дм². Число при переходе к меньшей единице стало больше, что соответствует смыслу измерения: один квадратный метр содержит много квадратов по одному квадратному дециметру. Если бы переводили из дм² в м², нужно было бы делить на 100.
Аквариум имеет длину 60 см, ширину 30 см и высоту 40 см. Нужно узнать, сколько литров воды потребуется для заполнения. Сначала найдём объём в см³, поскольку все три измерения уже даны в сантиметрах, а затем воспользуемся соотношением между кубическими сантиметрами и литрами.
Ответ: для заполнения аквариума потребуется 72 л воды. Перед вычислением мы учли все три измерения, потому что объём зависит от длины, ширины и высоты. Перевод в литры выполнен делением на 1000: в одном литре содержится тысяча кубических сантиметров.
Иногда площадь записывают в сантиметрах вместо квадратных сантиметров, потому что путают измерение поверхности с измерением длины. Но сантиметр подходит для отрезка, а площадь считают квадратами, поэтому к числу нужно добавить единицу см². Проверь себя: если в задаче спрашивают, сколько места внутри фигуры, ответ должен быть в квадратных единицах.
При переводе м² в дм² можно ошибочно умножить на 10, перенеся правило для единиц длины. Причина в том, что ученик учитывает только одну сторону квадрата, хотя у него две стороны по 10 дм. Нужно умножить 10 на 10 и получить коэффициент 100. Проверка: 1 м² должен быть равен 100 дм².
В формуле объёма иногда забывают один множитель и перемножают только длину с шириной. Так получают площадь основания, а не объём всего тела, потому что не учтено, сколько слоёв кубиков помещается по высоте. Записывай формулу полностью: V = abc. Перед подсчётом сверь, что использованы все три измерения тела.
При переводе см³ в дм³ могут делить на 10 или 100, не учитывая три измерения куба. Каждый переход длины даёт множитель 10, а для куба таких направлений три: 10 · 10 · 10 = 1000. Поэтому из см³ в дм³ делят на 1000. Проверка: 1 дм³ должен содержать 1000 см³.
Для вычисления площадей и объёмов нужны знания единиц длины и умение умножать и делить натуральные числа. Также пригодятся свойства прямоугольника и квадрата, ведь формулы строятся на их сторонах. Эти способы вычислений будут полезны при изучении площадей сложных фигур и объёмов других тел. Они помогают рассчитывать расход материалов и вместимость сосудов.
Почему площадь измеряют в квадратных, а объём — в кубических единицах?
Площадь можно покрыть одинаковыми квадратами, поэтому её измеряют квадратными единицами, например см². Тело можно заполнить одинаковыми кубиками, поэтому объём измеряют кубическими единицами, например см³.
Чем отличается площадь квадрата от его периметра?
Площадь показывает, сколько места внутри квадрата, и измеряется квадратными единицами. Периметр — это длина границы квадрата, его измеряют единицами длины.
Почему при переводе квадратных метров в квадратные дециметры нужно умножать на 100?
В одном метре 10 дециметров, поэтому квадрат со стороной 1 м состоит из 10 рядов по 10 квадратов площадью 1 дм². Значит, 1 м² = 100 дм².
Как найти объём тела, если известны его длина, ширина и высота?
Если тело — прямоугольный параллелепипед, нужно перемножить длину, ширину и высоту: V = abc. Все три измерения должны быть выражены в одинаковых единицах.
Как перевести кубические сантиметры в литры?
Нужно разделить число кубических сантиметров на 1000, потому что 1 л = 1 дм³ = 1000 см³. Например, 3000 см³ — это 3 л.
§ 4. Площади и объемы
