"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура, а объём — сколько места занимает тело. Чтобы измерить их, фигуру мысленно покрывают одинаковыми квадратами, а тело заполняют одинаковыми кубами. Для прямоугольника площадь находят умножением двух сторон, для прямоугольного параллелепипеда объём — умножением длины, ширины и высоты. Эти величины помогают сравнивать предметы, рассчитывать покрытие пола и понимать, сколько поместится в коробке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько единичных квадратов можно уложить внутри неё без пропусков и наложений. Площадь обозначают буквой S. Представь, что ты покрываешь стол одинаковыми квадратными плитками: их число помогает сравнить, сколько места занимают разные поверхности.
Квадратный сантиметр — это площадь квадрата со стороной 1 см. Его записывают как 1 см²; так же вводят квадратный миллиметр (мм²), квадратный дециметр (дм²) и квадратный метр (м²). Эти единицы нужны, чтобы выражать площадь подходящим числом: маленькую поверхность удобнее измерять в см², а большую — в м².
Объём тела — величина, показывающая, сколько единичных кубов помещается внутри тела. Его обозначают буквой V. Например, объём коробки помогает понять, сколько места внутри неё и сколько предметов можно туда положить.
Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см, его обозначают см³. Аналогично определяют кубический миллиметр (мм³), кубический дециметр (дм³) и кубический метр (м³). Такие единицы нужны, чтобы измерять пространство внутри предметов и сравнивать вместимость тел разного размера.
Площадь измеряют квадратами, потому что квадрат может служить одинаковой меркой для любой плоской поверхности. Если укладывать такие мерки без промежутков и наложений, число квадратов покажет, сколько места занимает фигура. Чем крупнее выбранная мерка, тем меньше их понадобится для той же поверхности. Поэтому при записи результата всегда указывают не только число, но и размер единичного квадрата.
У прямоугольника с целыми длинами сторон можно увидеть ряды одинаковых клеток. Если в каждом ряду лежит b квадратов, а всего рядов a, то общее число клеток равно a · b. Каждая клетка — единичный квадрат, поэтому их количество и есть площадь прямоугольника. Отсюда получается формула S = ab, где a и b — длины смежных сторон, то есть сторон, которые встречаются в одной вершине.
Формула работает не только при подсчёте клеток: прямоугольник можно рассматривать как ряды, равные одной его стороне, а в каждом ряду отмерена другая сторона. Поэтому площадь равна произведению этих сторон. У квадрата смежные стороны одинаковы и равны a, значит, вместо a · a записывают a². Здесь a² означает a, умноженное на само себя, а не a, умноженное на 2.
Чтобы измерить объём, тело мысленно заполняют одинаковыми кубами. В прямоугольном параллелепипеде кубы образуют слои: в каждом слое есть ряды, а в каждом ряду — одинаковое число кубов. Поэтому количество кубов находят умножением числа слоёв на число рядов и на число кубов в одном ряду. Если хотя бы один размер увеличить, число кубов внутри изменится.
У прямоугольного параллелепипеда три измерения: длина, ширина и высота. Умножая их, мы учитываем число кубов сразу во всех рядах и слоях, поэтому V = abc. У куба все рёбра равны a, значит, его объём равен a · a · a, или a³. Единицы объёма тоже учитывают три измерения: если ребро измерено в сантиметрах, результат записывают в кубических сантиметрах.
| Фигура или тело | Что измеряем | Формула | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Прямоугольник | Площадь | S = ab | мм², см², дм², м² |
| Квадрат | Площадь | S = a² | мм², см², дм², м² |
| Прямоугольный параллелепипед | Объём | V = abc | мм³, см³, дм³, м³ |
| Куб | Объём | V = a³ | мм³, см³, дм³, м³ |
Сначала определи, что требуется найти: площадь плоской фигуры или объём тела. Затем выбери соответствующую строку и подставь длины в формулу. Проверь, чтобы единицы измерения результата были квадратными для площади и кубическими для объёма.
Задача: найдите площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Здесь известны обе стороны, поэтому можно сразу применить правило для площади прямоугольника. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: перемножаются две длины в сантиметрах.
Ответ: 24 см². Число 24 показывает, сколько квадратов со стороной 1 см укладывается внутри такого прямоугольника. Проверка: площадь должна быть больше каждой из сторон, если длины выражены в сантиметрах.
Задача: площадь прямоугольника равна 35 см², одна сторона — 5 см. Найдите другую сторону. Площадь уже равна произведению двух сторон, а одна из них известна. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Ответ: 7 см. Проверка: 5 · 7 = 35, значит, произведение сторон совпадает с заданной площадью. Деление позволило восстановить длину стороны, а единица результата получилась линейной.
Задача: длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 3 см и 5 см. Найдите его объём и выразите его в кубических миллиметрах. Сначала нужно найти объём в сантиметрах, потому что все три измерения даны в сантиметрах. Затем переводим единицы, учитывая, что в каждом кубическом сантиметре помещается 1000 кубиков по 1 мм³.
Ответ: 120 см³, или 120 000 мм³. При переводе мы умножили на 1000, потому что 1 см = 10 мм, а для объёма коэффициент 10 нужно применить в трёх измерениях: 10 · 10 · 10. Полученное число в мм³ больше, чем число в см³, поскольку кубический миллиметр — более мелкая единица.
Иногда площадь записывают в сантиметрах, например 24 см, хотя ответ должен быть 24 см². Так происходит, когда длину и площадь считают одной и той же величиной. Проверь себя: если измеряешь поверхность, единица должна быть квадратной, а не линейной. Для отрезка подходит см, для площади — см².
При поиске объёма могут умножить только два измерения или забыть высоту. Тогда фактически находят площадь одной стороны, а не всё пространство внутри тела. У прямоугольного параллелепипеда проверь, что в записи есть три измерения: длина, ширина и высота. Формула должна быть V = abc, а единица ответа — кубическая.
При переводе см² в мм² или см³ в мм³ иногда умножают только на 10. Причина в том, что вспоминают перевод длины, но не учитывают несколько измерений. Для площади коэффициент 10 возводят в квадрат, а для объёма — в куб: 1 см² = 100 мм² и 1 см³ = 1000 мм³. Проверить себя можно, выписав, сколько раз единицы длины входят в каждом измерении.
Ещё одна ошибка — сложить стороны прямоугольника вместо того, чтобы перемножить их. Сложение может пригодиться при нахождении периметра, то есть длины границы, но не площади внутри фигуры. Спроси себя, что требуется найти: путь вдоль края или покрываемую поверхность. Для площади прямоугольника используй произведение S = ab.
Для работы с площадями и объёмами нужно уметь измерять и сравнивать длины, пользоваться линейкой, умножать и делить натуральные числа. Эти умения помогают правильно подставлять измерения в формулы и проверять вычисления. Тема связывает геометрические фигуры с величинами и единицами измерения, поэтому площадь важно отличать от периметра. Площади и объёмы встречаются в задачах о покрытии поверхностей, упаковке и вместимости, а также понадобятся при дальнейшем изучении геометрии.
Чем площадь отличается от периметра?
Площадь показывает, сколько места занимает фигура внутри, а периметр — какова длина её границы. Площадь прямоугольника находят умножением сторон, а периметр — сложением длин всех сторон.
Почему площадь измеряют квадратными единицами?
Единицей площади служит квадрат, например квадрат со стороной 1 см. Так можно узнать, сколько таких квадратов без промежутков и наложений помещается внутри фигуры.
Как найти сторону прямоугольника, если известны его площадь и другая сторона?
Нужно площадь разделить на длину известной стороны. Например, если площадь равна 35 см², а сторона — 5 см, то другая сторона равна 35 : 5 = 7 см.
Почему объём измеряют кубическими единицами?
Объём измеряют кубами, потому что тело занимает место в трёх измерениях: длине, ширине и высоте. Единичный куб — это куб с ребром, например, 1 см; его объём равен 1 см³.
Как переводить квадратные и кубические единицы измерения?
При переходе между единицами площади коэффициент перевода длины нужно возвести в квадрат, а для объёма — в куб. Например, 1 см = 10 мм, поэтому 1 см² = 100 мм², а 1 см³ = 1000 мм³.
§ 4. Площади и объемы
