16. Степень числа. Квадрат и куб числа 

Определения и обозначения

Степень числа — это произведение одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a умножают само на себя n раз: aⁿ = a · a · … · a. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись нужна, чтобы не повторять длинное произведение каждый раз.

Основание степени — число, которое повторяется множителем. В записи aⁿ основание стоит внизу, слева от показателя: это буква a. Например, в 7³ основание — 7. Оно подсказывает, какое число нужно умножать на себя.

Показатель степени — число, которое показывает, сколько раз основание берут множителем. В записи aⁿ показатель n записан маленьким числом справа и сверху от основания. Например, в 7³ показатель равен 3, значит, в произведении должно быть три множителя 7. По показателю можно понять, сколько раз повторяется основание.

Квадрат и куб числа — это его вторая и третья степени. Квадрат записывают так: a² = a · a, а куб — так: a³ = a · a · a. Эти названия помогают узнавать особые случаи степени, которые часто встречаются в задачах о площади и объёме.

Как это устроено

Если в произведении один и тот же множитель встречается несколько раз, его можно заменить степенью. Например, в произведении 5 · 5 · 5 число 5 повторяется трижды, поэтому запись короче выглядит так: 5³. Основание остаётся тем же числом, а число повторений становится показателем. Это удобно, когда одинаковых множителей много: вместо длинной цепочки умножений достаточно записать основание и показатель.

Показатель считают по количеству множителей, а не по знакам умножения. Между тремя множителями стоят только два знака: 5 · 5 · 5, но множителей всё равно три. Каждый знак умножения разделяет соседние числа, поэтому знаков на один меньше, чем множителей. Чтобы проверить показатель, можно раскрыть степень и пересчитать все одинаковые числа.

Степень читают, называя основание, а затем показатель: например, 4³ читают «четыре в третьей степени» или «куб числа четыре». При записи основание помещают обычным размером, а показатель — маленьким числом справа сверху. Различать их нужно потому, что основание говорит, какое число повторяется, а показатель — сколько таких чисел будет в произведении. В записи 2⁴ основание равно 2, показатель — 4.

Чтобы вычислить квадрат или куб числа, сначала замените степень произведением, а затем выполните умножение. Например, 6² = 6 · 6 = 36, а 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Одного сложения или удвоения здесь недостаточно: степень обозначает умножение основания на себя. Раскрытая запись помогает не перепутать, сколько множителей нужно взять.

Квадрат и куб можно представить с помощью геометрических фигур. У квадрата со стороной a площадь равна a · a, то есть a²: одна сторона показывает длину, а другая — ширину. У куба с ребром a объём равен a · a · a, то есть a³, потому что размеры куба учитывают в трёх направлениях. Поэтому формулы площади квадрата и объёма куба связаны соответственно со второй и третьей степенями.

Степень числа и частные случаи

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найдите нужную запись и посмотрите, сколько множителей она обозначает. Затем замените степень произведением и выполните вычисление. По столбцу «Как читают» можно проверить, правильно ли вы назвали квадрат или куб.

Разбор задач

Запишите произведение 7 · 7 · 7 · 7 степенью и назовите её основание и показатель. Сначала найдём число, которое повторяется: во всех четырёх множителях стоит 7. Затем посчитаем сами множители, не знаки между ними. Это число станет показателем степени.

1. Повторяющийся множитель — 7, значит, основание степени равно 7.
2. В произведении четыре множителя 7, поэтому показатель равен 4.
3. Записываем произведение степенью: 7 · 7 · 7 · 7 = 7⁴.

Ответ: 7⁴; основание — 7, показатель — 4. Проверка проста: при раскрытии записи снова должны получиться четыре семёрки. Если их меньше или больше, показатель выбран неверно.

Вычислите 8² и 4³. Сначала раскроем обе степени, чтобы увидеть количество множителей, а после этого выполним умножение. Для квадрата берём основание два раза, для куба — три раза. Так мы не перепутаем степень с удвоением или с произведением только двух чисел.

1. Раскрываем квадрат: 8² = 8 · 8.
2. Вычисляем: 8 · 8 = 64.
3. Раскрываем куб: 4³ = 4 · 4 · 4.
4. Вычисляем по порядку: 4 · 4 = 16, затем 16 · 4 = 64.

Ответ: 8² = 64; 4³ = 64. Значения оказались одинаковыми, хотя произведения разные. Это не означает, что квадрат и куб обозначают одно и то же: у них различается количество множителей.

Квадратная площадка имеет сторону 9 м. Запишите её площадь в виде степени и найдите значение. Площадь квадрата находят умножением стороны на саму себя, поэтому подходит вторая степень числа 9. Единицы площади будут квадратными метрами: каждый множитель измеряется в метрах, а произведение — в квадратных метрах.

1. Записываем формулу площади квадрата: сторона · сторона.
2. Подставляем длину стороны: 9 · 9 = 9².
3. Вычисляем: 9² = 81.
4. Записываем результат с единицами: 81 м².

Ответ: площадь площадки равна 9² м², то есть 81 м². Проверка по смыслу: квадрат со стороной 9 м можно представить как 9 рядов по 9 квадратных метров, всего получится 81 квадратный метр. Запись степенью показывает, что при вычислении стороны перемножили дважды.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что показатель показывает число знаков умножения. Например, в 6 · 6 · 6 два знака умножения, но три множителя, поэтому это 6³. Путают их потому, что знаки видны между числами, а множители легко не пересчитать. Проверьте себя: раскройте степень и сосчитайте числа, а не промежутки между ними.

Ошибка: путать основание с показателем и считать, например, что в 4³ основание — 3. Основание — это число, которое повторяется, то есть 4, а показатель 3 сообщает, сколько раз его взять. Путаница возникает из-за того, что маленькая цифра выглядит заметной частью записи. Чтобы проверить ответ, разверните степень: 4³ = 4 · 4 · 4.

Ошибка: вычислять квадрат как удвоение числа, например считать 6² равным 12. Квадрат означает произведение двух одинаковых множителей: 6² = 6 · 6 = 36, тогда как удвоение — это 6 + 6. Эти действия можно спутать из-за слова «два», которое связывают с двумя одинаковыми числами. Проверка: замените квадрат умножением и только потом считайте.

Ошибка: записывать куб как произведение только двух множителей. В a³ должно быть три множителя a, потому что показатель 3 показывает их количество. Такая ошибка появляется, если запомнить, что куб — это умножение числа на себя, но забыть повторить действие ещё раз. Для проверки раскройте запись полностью: a³ = a · a · a.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уметь находить значение произведения и понимать, что множители можно группировать. Если произведение длинное, степень помогает записать его короче, но смысл вычисления остаётся прежним. Эта запись связывает обычное умножение с новыми математическими обозначениями. Поэтому полезно сначала уверенно перемножать числа.

Степени пригодятся при вычислении площадей квадратов и объёмов кубов: для площади используют вторую степень, а для объёма — третью. Они также помогают короче записывать большие произведения одинаковых чисел. Позже на этом понятии будут строиться свойства степеней. Понимание основания и показателя подготовит к таким вычислениям.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n одинаковых множителей a.
• Основание показывает, какое число повторяется множителем.
• Показатель показывает количество множителей.
• Квадрат числа a — это a · a.
• Куб числа a — это a · a · a.
• Чтобы вычислить степень, раскройте её в произведение и выполните умножение.