"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Числовое выражение может содержать несколько действий, и для него важно определить правильную очередность вычислений. Единый порядок действий помогает всем получить одинаковый результат, даже если выражение длинное. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковую очередность, их выполняют слева направо, каждый раз используя уже найденный результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел и знаков действий, значение которой можно найти. Например, 7 + 5 и 18 − 6 : 3 — числовые выражения. Это понятие помогает отличить запись для вычислений от отдельного числа и понять, что именно требуется посчитать.
Порядок выполнения действий — установленная очередность вычислений в выражении. Благодаря этому правилу можно разобраться, с какого действия начинать, если знаков несколько. Без общей очередности одно и то же выражение разные люди могли бы вычислить по-разному и получить разные ответы.
Скобки — знаки, которые показывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных. Например, в записи 4 · (3 + 2) сначала находят сумму в скобках, а потом умножают результат на 4. Скобки нужны, чтобы явно указать, какую часть выражения следует вычислить первой.
Действия одной ступени — сложение и вычитание либо умножение и деление; в каждой такой паре действия выполняют по порядку слева направо. Например, в выражении 20 : 5 · 2 сначала делят 20 на 5, а затем умножают результат на 2. Это понятие помогает выбирать очередность, когда рядом стоят разные знаки одного уровня.
Единый порядок действий нужен, чтобы результат не зависел от того, кто считает и как он привык читать запись. Знаки в выражении сами по себе не объясняют, какое действие считать главным, если их несколько. Поэтому договорились о правилах очередности: каждый выполняет одни и те же шаги и получает одинаковое значение. Это делает запись короткой и понятной без дополнительных слов.
Скобки меняют очередность, потому что выделяют часть выражения, которую нужно рассмотреть как отдельную. Сначала вычисляют всё внутри скобок, соблюдая правила и для действий внутри них. Затем найденный результат используют в оставшейся записи вместо всей скобочной части. Так, скобки могут показать, что сложение нужно выполнить до умножения, хотя обычно умножение имеет более высокую очередность.
Если скобок нет, умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Причина в том, что умножение и деление связывают числа в части выражения, которую затем складывают или вычитают. Например, в 18 − 6 : 3 сначала находят, сколько получится 6 : 3, и уже этот результат вычитают из 18. Если начать с вычитания, смысл записи изменится, и получится другой ответ.
Когда в выражении несколько действий одной ступени, их выполняют слева направо. У умножения нет преимущества перед делением, как и у сложения нет преимущества перед вычитанием. Поэтому в записи 24 : 4 · 3 сначала выполняют действие, которое стоит левее, то есть деление, а потом умножение. Такой порядок сохраняет значение выражения и не позволяет выбирать действия наугад.
Длинное выражение удобнее разбирать по шагам: сначала отметить, что нужно вычислить сейчас, выполнить только это действие и переписать оставшуюся запись. При каждом следующем шаге снова проверяют скобки и очередность знаков. Результат выполненного действия заменяет его часть выражения, а остальные числа и знаки сохраняются. Такой способ помогает не потерять знак и заметить ошибку, если промежуточная запись перестала соответствовать исходной.
| Очередь | Какие действия выполнять | Как выбирать действие |
|---|---|---|
| 1-я очередь — действия в скобках | Действия внутри скобок | Сначала вычислить скобочную часть |
| 2-я очередь — умножение и деление | Умножение, деление | Выполнять слева направо |
| 3-я очередь — сложение и вычитание | Сложение, вычитание | Выполнять слева направо |
| Действия одной очереди — слева направо | Действия одинаковой очередности | Начинать с действия, расположенного левее |
Пользуйся таблицей как маршрутом: найди скобки, затем проверь умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если на одном уровне есть несколько действий, двигайся слева направо. После каждого шага подставляй найденный результат в запись.
Задача 1. Вычислите 18 − 6 : 3. В выражении есть вычитание и деление, скобок нет. Деление относится к более ранней очереди, поэтому нельзя сразу вычитать 6 из 18. Сначала найдём частное, а затем выполним вычитание.
Ответ: 16. Проверяем ход: сначала было выполнено деление, затем оставшееся вычитание. Так мы сохранили очередность действий в выражении.
Задача 2. Вычислите 24 : 4 · 3. Здесь встретились деление и умножение, то есть действия одной ступени. Одно из них не нужно выбирать по названию: смотрим, какое стоит левее. Сначала выполним деление, а затем умножим найденное частное на 3.
Ответ: 18. Проверка порядка проста: деление стояло левее умножения, поэтому его и выполнили первым. Если начать с 4 · 3, правило слева направо будет нарушено.
Задача 3. Вычислите 36 − (8 + 4) : 3 · 2. Сначала надо найти значение скобок, потому что они задают первую очередь. После этого останутся деление, умножение и вычитание. Деление и умножение выполним слева направо, а вычитание оставим на конец.
Ответ: 28. В решении сначала обработали скобки, затем выполнили действия второй очереди слева направо и только потом вычли. Переписывание выражения после каждого шага показывает, какая часть уже посчитана.
Выполнять действия просто слева направо. Так можно начать со сложения или вычитания, хотя в выражении есть умножение или деление, которое выполняется раньше. Ошибку допускают, потому что читают запись как обычную строку и не проверяют очередность знаков. Перед вычислением отметь действия второй очереди и сравни свой первый шаг с правилом.
Считать, что деление всегда выполняется раньше умножения. Эти действия имеют одинаковую очередность, поэтому в записи 24 : 4 · 3 сначала выполняют деление, так как оно стоит левее. Путаница возникает, когда правило о раннем умножении и делении принимают за преимущество одного знака над другим. Проверь, какое из двух действий расположено левее.
Всегда выполнять сложение раньше вычитания. Сложение и вычитание тоже равны по очередности, поэтому их порядок определяет расположение слева направо. Ошибка появляется, если запомнить названия действий, но забыть правило для действий одной ступени. Найди в записи оба знака и проверь, какое действие стоит левее.
Не вычислять скобки в первую очередь. Если начать действие за скобками, можно нарушить заданную ими очередность и изменить результат. Обычно так происходит, когда скобки не замечают или считают их просто частью записи. Перед первым вычислением обведи скобочную часть взглядом и проверь, что сначала работаешь именно с ней.
Чтобы пользоваться порядком действий, нужно знать, что означают сложение, вычитание, умножение и деление, а также уметь выполнять эти действия с натуральными числами. Знание самих вычислений позволяет сосредоточиться на выборе правильного шага. Если пока трудно находить сумму, разность, произведение или частное, сначала стоит потренироваться в этих действиях отдельно.
Правило пригодится при вычислении значений числовых выражений и решении задач, где в одной записи встречается несколько действий. Оно помогает превратить длинную запись в последовательность понятных вычислений. В дальнейшем навык понадобится каждый раз, когда в выражении нужно определить, что считать первым, а что оставить на потом.
Как понять, какое действие выполнять первым?
Сначала найди действия в скобках и выполни их. Если скобок нет или их значение уже найдено, выбирай умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Среди действий одинаковой очередности начинай с самого левого.
Что делать, если в выражении есть скобки?
Сначала вычисли выражение внутри скобок. Если там несколько действий, соблюдай обычный порядок и внутри: умножение и деление раньше сложения и вычитания, а действия одной очередности — слева направо. Полученный результат используй вместо скобок.
Как определить порядок умножения и деления?
Умножение и деление имеют одинаковую очередность. Если встретились оба действия, выполняй их по порядку слева направо, а не выбирай деление или умножение как главное.
Что выполнять раньше: сложение или вычитание?
Сложение и вычитание имеют одинаковую очередность. Выполняй их слева направо, учитывая, что умножение и деление без скобок нужно сделать раньше.
Нужно ли после каждого действия переписывать всё выражение?
Полезно переписать оставшуюся часть выражения, заменив выполненное действие его результатом. Так видно, какой шаг сделан и что нужно вычислить дальше. Особенно это помогает в длинных примерах.
15. Порядок выполнения действий
