"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Числовое выражение может содержать несколько действий, и от их последовательности зависит ответ. Порядок выполнения действий — это правила, которые помогают всем вычислять одну и ту же запись одинаково. Сначала учитывают скобки, затем умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Если действия относятся к одной ступени, их выполняют слева направо. Зная эти правила, можно уверенно находить значение даже у длинного выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков действий и, возможно, скобок, значение которой можно найти. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение, потому что в нём записаны числа и действия. Оно нужно, чтобы коротко показать вычисление, которое предстоит выполнить. Результат вычисления называют значением выражения.
Порядок выполнения действий — правила, определяющие, в какой последовательности вычислять выражение. Например, в записи с умножением и сложением эти правила подсказывают, какое действие сделать раньше. Они нужны, чтобы разные люди получили один и тот же ответ. Без общего порядка одну запись можно было бы понять по-разному.
Действия первой ступени — сложение и вычитание. Их объединяют в одну группу, потому что при вычислениях они имеют одинаковый приоритет. Если в выражении остались только сложение и вычитание, считают слева направо. Это правило помогает не выбирать действие наугад.
Действия второй ступени — умножение и деление. Они имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание, если скобки не указывают иной порядок. Поэтому в выражении без скобок сначала выполняют именно их. Названия ступеней помогают быстро определить, какие действия считать раньше.
Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри них. Скобки выделяют часть записи, которую нужно рассчитать как отдельную группу, прежде чем использовать её результат дальше. Так, в выражении 10 · (2 + 3) сначала находят сумму 2 + 3, а не умножают 10 на 2. Если внутри скобок несколько действий, порядок выбирают по тем же правилам, что и для всего выражения.
При вложенных скобках начинают с самых внутренних. Внешняя группа содержит внутреннюю как часть своего выражения, поэтому её значение нельзя правильно найти, пока не известно значение внутренней. Сначала вычисляют то, что заключено в самые глубокие скобки, а полученный результат используют в следующих. Так шаг за шагом выражение становится проще.
Без скобок сначала выполняют умножение и деление, потому что эти действия имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание. Например, в записи 7 + 4 · 3 сначала находят произведение 4 · 3, а затем прибавляют 7. Если начать со сложения, изменится смысл записи и может получиться другой ответ. Скобки могут специально изменить обычную последовательность и поставить сложение раньше умножения.
Если в выражении остались только действия одной ступени, их выполняют по порядку слева направо. Умножение и деление равноправны, поэтому в выражении 24 : 3 · 2 сначала делят 24 на 3, а затем умножают результат на 2. То же правило действует для сложения и вычитания: в записи 15 − 6 + 2 сначала вычитают 6. Приоритет помогает выбрать ступень, а движение слева направо — действие внутри одной ступени.
После вычисления скобок полученные значения подставляют в оставшуюся часть выражения и продолжают вычисления по тем же правилам. Например, вместо скобок можно записать найденное число и снова посмотреть, какие действия остались. Каждый такой шаг уменьшает число действий, пока не получится одно число — значение всего выражения. Благодаря общим правилам любой решающий получает однозначный результат.
| Ситуация в выражении | Что выполнять сначала | Как продолжать |
|---|---|---|
| Есть скобки | Действия внутри скобок | Затем вычислять оставшуюся часть выражения по обычным правилам |
| В скобках несколько действий | Действия по правилам порядка; во вложенных скобках — самые внутренние | Продвигаться от внутренних скобок к внешним |
| Скобок нет, есть умножение или деление | Умножение и деление | Потом выполнить сложение и вычитание |
| Остались действия одной ступени | Самое левое действие | Выполнять следующие действия слева направо |
Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь, есть ли скобки, а затем определи, какие действия остались. Если скобок нет, найди действия второй ступени и выполни их прежде сложения и вычитания. Когда приоритет одинаков, двигайся слева направо.
Задача 1. Вычислите 18 + 6 − 9. Здесь есть только сложение и вычитание, то есть действия одной ступени. Поэтому выбираем действие, которое стоит левее, и не переставляем его с вычитанием. После первого вычисления остаётся простая разность.
Ответ: 15. Проверяем, что сложение и вычитание выполнены именно слева направо. Если бы мы сначала вычислили 6 − 9, мы нарушили бы правило для действий одной ступени. Поэтому такой ход не подходит.
Задача 2. Вычислите 24 − 3 · 5. Скобок нет, но есть умножение и вычитание. Умножение относится ко второй ступени и имеет приоритет перед вычитанием первой ступени. Значит, сначала найдём произведение, а затем выполним оставшееся действие.
Ответ: 9. Чтобы проверить выбор порядка, можно посмотреть на знаки: умножение нельзя пропустить ради вычитания. Если сначала найти 24 − 3, получится другое выражение и неверный результат. Здесь скобок нет, поэтому действует обычный приоритет операций.
Задача 3. Вычислите 48 : (7 + 5) + 3 · 4. В записи есть скобки, деление, умножение и сложение. Начинаем со скобок, затем выполняем действия второй ступени. Деление и умножение имеют равный приоритет, и после них останется сложение.
Ответ: 16. Скобки обработаны первыми, а сложение оставлено напоследок, потому что перед ним ещё были действия второй ступени. Проверка последовательности помогает не спутать порядок, даже если в выражении несколько разных знаков.
Ошибка — выполнять все действия подряд слева направо, не учитывая ступени. Так часто делают, потому что читают запись как обычный текст, но умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Проверь себя: сначала отметь скобки и действия второй ступени, а уже потом считай остальные. Например, в 24 − 3 · 5 сначала нужно выполнить умножение.
Некоторые начинают со сложения или вычитания, хотя в выражении без скобок есть умножение или деление. Причина ошибки — желание двигаться по записи слева направо во всех случаях. Слева направо считают только действия равного приоритета, а не всё выражение целиком. Чтобы проверить себя, сначала найди знаки умножения и деления.
Ещё одна ошибка — выполнять действия одной ступени не слева направо. Например, иногда деление считают раньше умножения только потому, что оно кажется более сложным, хотя эти действия равноправны. Проверь, стоят ли они в одной цепочке без скобок, и начни с самого левого. Такое же правило действует для сложения и вычитания.
При вложенных скобках можно ошибочно начать вычисления во внешних, не разобрав внутренние. Так происходит, если взгляд сначала замечает большие скобки и не проверяет, что находится внутри. Найди самые внутренние скобки и вычисли их содержимое первым. Затем используй результат при вычислении следующей группы.
Чтобы вычислять выражения по порядку, нужно уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Правило выбора действия не заменяет сами вычисления: сначала нужно правильно определить очередность, а затем безошибочно найти результат каждого действия. Поэтому полезно отдельно проверять и порядок, и вычисления.
Порядок действий нужен при нахождении значений выражений, где соединено несколько операций. Позже эти правила пригодятся при работе с более сложными числовыми выражениями и скобками. Если помнить приоритеты и движение слева направо, длинная запись превращается в последовательность понятных шагов. Каждый шаг можно проверить отдельно.
Что выполнять первым, если в выражении есть скобки?
Сначала выполняй действия внутри скобок. Если скобки вложены друг в друга, начинай с самых внутренних и постепенно переходи к внешним.
Что делать первым без скобок: умножение или сложение?
Сначала выполняй умножение, потому что оно относится ко второй ступени, а сложение — к первой. После умножения вычисляй сложение и вычитание.
В каком порядке выполнять умножение и деление?
Умножение и деление имеют равный приоритет, поэтому выполняй их слева направо. Не нужно всегда начинать именно с умножения.
Как вычислять выражение с несколькими вложенными скобками?
Начинай с действий в самых внутренних скобках. Найденное значение используй во внешних скобках, а затем продолжай, пока скобок не останется.
Можно ли менять порядок действий, если получается удобнее?
Нет, менять порядок действий произвольно нельзя: из-за этого может измениться ответ. Выполняй действия по правилам, а для удобства используй только допустимые способы вычисления.
15. Порядок выполнения действий
