14. Упрощение выражений

Определения и обозначения

Упрощение выражения — преобразование выражения к более простому виду с сохранением его значения. Например, 7a + 3a − 5 можно записать как 10a − 5. Такое преобразование помогает быстрее выполнять вычисления и использовать выражение в задачах.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 4x и −2x подобны, а 4x и 4y — нет. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие слагаемые можно объединить, а какие следует оставить отдельно.

Коэффициент — числовой множитель при буквенной части. В выражении 6a коэффициент равен 6, а в −3a — −3. Коэффициент показывает, сколько раз буквенная часть входит в слагаемое, и помогает правильно складывать подобные слагаемые.

Распределительное свойство умножения — правило, по которому множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. Например, 3(x + 2) = 3x + 6. Это свойство используют, чтобы раскрывать скобки, а также выносить общий множитель за скобки.

Как это устроено

Выражение можно преобразовывать, потому что сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами, а умножение связано со сложением распределительным свойством. Переместительное свойство позволяет менять слагаемые местами, а сочетательное — по-разному группировать их. Благодаря этому одинаковые буквенные части можно поставить рядом и объединить, не меняя значения выражения.

Чтобы раскрыть скобки перед положительным множителем, умножают его на каждый член в скобках. Например, в записи 3(x + 2) число 3 умножают и на x, и на 2, поэтому получается 3x + 6. Если перед скобками стоит минус, это то же самое, что умножить скобки на −1: каждый знак внутри меняется на противоположный. Так, −(a − 4) = −a + 4.

После раскрытия скобок находят подобные слагаемые и складывают или вычитают их коэффициенты. Буквенную часть при этом сохраняют: 5x − 2x = (5 − 2)x = 3x. Складывать можно только одинаковые буквенные части, поэтому 3x + 2y нельзя превратить в 5xy или 5x. Свободный член, то есть число без буквы, тоже объединяют только с другими числами.

Коэффициент определяют по числу, которое умножается на буквенную часть. Если число перед буквой не записано, считают, что оно равно 1: x = 1x. Если перед буквой стоит знак минус, коэффициент равен −1: −x = −1x. Это помогает не потерять слагаемое и верно учесть его знак при приведении подобных.

Правильность преобразования можно проверить подстановкой конкретного числа вместо переменной. Подставьте одно и то же значение в исходное и полученное выражения, соблюдая порядок действий, и сравните результаты. Совпадение значений подтверждает, что при этом числе выражения равны. Для более надёжной проверки повторите подстановку с другим числом.

Основные приёмы упрощения выражений

Пользуйтесь таблицей как напоминанием: сначала определите, какое действие нужно выполнить, затем примените соответствующее свойство. При раскрытии скобок проверьте, что множитель умножен на каждый член. После этого можно искать подобные слагаемые.

Разбор задач

Задача 1. Упростить выражение 7a + 3a − 5. В нём есть два слагаемых с буквой a и отдельное число −5. Сначала объединим слагаемые с одинаковой буквенной частью, а число оставим на месте.

1. Коэффициенты при a равны 7 и 3, поэтому складываем их: 7 + 3 = 10.
2. Буквенную часть a сохраняем и записываем результат вместе с числом: 10a − 5.

Ответ: 10a − 5.

Задача 2. Упростить выражение 4(2x − 3) + x. Сначала раскроем скобки: множитель 4 должен умножиться и на 2x, и на −3. Затем объединим слагаемые с буквой x.

1. Раскрываем скобки: 4 · 2x − 4 · 3 + x = 8x − 12 + x.
2. Складываем коэффициенты при x: 8x + x = 8x + 1x = 9x.
3. Число −12 оставляем отдельно, так как оно не является слагаемым с буквой x.

Ответ: 9x − 12.

Задача 3. Упростить 5(2a − 1) − 2(a + 3) и найти значение при a = 4. Важно раскрыть обе скобки, учитывая минус перед второй: он относится ко всему произведению 2(a + 3). Только после упрощения подставим число вместо a.

1. Раскрываем первую скобку: 5(2a − 1) = 10a − 5.
2. Во второй части умножаем каждый член скобок на −2: −2(a + 3) = −2a − 6.
3. Записываем выражение без скобок и приводим подобные: 10a − 5 − 2a − 6 = 8a − 11.
4. Подставляем a = 4: 8 · 4 − 11 = 32 − 11 = 21.

Ответ: 8a − 11; при a = 4 значение выражения равно 21.

Типичные ошибки

При раскрытии скобок иногда умножают внешний множитель только на первый член. Так происходит, если забыть, что распределительное свойство относится ко всем слагаемым в скобках. Проверьте, что множитель записан у каждого члена: 3(x + 2) = 3x + 6, а не 3x + 2.

После минуса перед скобками иногда оставляют прежние знаки слагаемых. Причина в том, что минус воспринимают как знак только перед скобкой, хотя он означает умножение всего выражения на −1. Раскройте скобки как умножение на −1 и проверьте, что каждый знак изменился: −(a − 3) = −a + 3.

Ещё одна ошибка — сложить неподобные слагаемые, например 2x и 5, или 3a и 3b. Их буквенные части различаются или одна часть вовсе не содержит буквы, поэтому объединить их нельзя. Перед сложением сравните буквенные части: они должны совпадать полностью.

Можно неверно определить коэффициент, если не заметить невидимую единицу или знак минус. В записи x коэффициент равен 1, а в −x — −1, поэтому x − 4x = −3x. Чтобы проверить себя, временно запишите коэффициенты явно и внимательно сохраните знак каждого слагаемого.

Связь с другими темами

Перед упрощением выражений нужно знать порядок действий и правила раскрытия скобок. Также пригодятся переместительное и распределительное свойства умножения: они объясняют, почему можно менять порядок слагаемых и раскрывать скобки без изменения значения. Если забыть эти правила, легко получить неверный результат.

Упрощённые буквенные выражения встречаются при решении уравнений и текстовых задач. Чем короче выражение, тем проще подставить в него известные числа и выполнить вычисления. Умение преобразовывать выражения помогает не запутаться в промежуточных действиях.

Эти приёмы готовят к работе с формулами и дальнейшими алгебраическими преобразованиями. В формулах часто нужно раскрыть скобки или собрать одинаковые буквенные части, прежде чем подставлять числа. Поэтому привычка сохранять знаки и проверять результат пригодится и в новых темах.

Что запомнить

• Упрощение не изменяет значение выражения.
• Скобки раскрывают с помощью распределительного свойства умножения.
• При умножении на отрицательное число знаки всех слагаемых в скобках меняются.
• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
• При приведении подобных слагаемых складывают их коэффициенты.
• Неподобные слагаемые объединять нельзя.
• Результат можно проверить подстановкой значения переменной.