14. Упрощение выражений

Определения и обозначения

Выражение — это запись из чисел, букв, знаков действий и скобок, например 4x + 7 или 3 · (a − 2). Буква может обозначать число, которое пока неизвестно или меняется. Выражения помогают записывать правила вычислений и задачи коротко, не подставляя сразу конкретные числа.

Упрощение выражения — это преобразование его записи в более короткую или удобную, не меняющее значение выражения. Например, вместо 2x + 5x можно записать 7x. Упрощение нужно, чтобы быстрее вычислять, сравнивать выражения и решать задачи.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 3a и −2a. Число перед буквенной частью называют коэффициентом: у 3a коэффициент равен 3, у −a — −1. Подобные слагаемые можно объединить, потому что они содержат одинаковое число одинаковых буквенных частей.

Как это устроено

Чтобы сложить подобные слагаемые, складывают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменения. Так, 4x + 2x = (4 + 2)x = 6x: это похоже на сложение четырёх одинаковых предметов и ещё двух таких же. Но 4x и 2y объединить нельзя, потому что буквы разные и их значения могут быть разными.

Умножение можно распределить по каждому слагаемому в скобках: a(b + c) = ab + ac. Причина в том, что число a умножается и на b, и на c, поэтому умножение выполняется для каждой части суммы. Например, 3(x + 4) = 3x + 12. При вычитании правило такое же: 3(x − 4) = 3x − 12.

Обратное действие помогает заменить сумму произведением. Если у нескольких слагаемых есть общий множитель, его можно вынести за скобки: 5x + 10 = 5(x + 2). Это верно потому, что при раскрытии скобок получится исходное выражение. Такой приём делает запись короче и иногда помогает увидеть удобный способ вычисления.

Скобки со знаком минус перед ними требуют особого внимания. Знак минус означает умножение всего содержимого скобок на −1, поэтому знаки каждого слагаемого меняются: −(x − 3) = −x + 3. Если перед скобками стоит число, это число умножают на каждое слагаемое, сохраняя знаки согласно правилу умножения. После раскрытия скобок можно собрать подобные слагаемые.

В выражении могут одновременно встречаться скобки, умножение и сложение. Сначала выполняют действия в скобках или раскрывают их, затем умножение, а потом приводят подобные слагаемые. Слагаемые удобно переставлять и группировать, если это помогает объединить одинаковые буквенные части. Однако перестановка не должна менять знаки слагаемых.

Правила преобразования выражений

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, какое действие поможет упростить запись, затем примени соответствующее правило. В примере можно раскрыть скобки и после этого собрать подобные слагаемые. Чтобы проверить результат, попробуй раскрыть скобки обратно или подставь вместо буквы одно и то же число в обе записи.

Разбор задач

Упростим выражение 3(2x + 4) − x + 5. Здесь есть скобки, умножение и слагаемые с буквой x, поэтому нельзя сразу складывать все числа подряд. Сначала раскроем скобки, а затем отдельно объединим слагаемые с x и числа. Так мы сохраним порядок действий и не потеряем знаки.

1. Умножим 3 на каждое слагаемое в скобках: 3 · 2x = 6x и 3 · 4 = 12. Получим 6x + 12 − x + 5. Оба слагаемых в скобках умножаются на 3, потому что множитель относится ко всей сумме.

2. Найдём подобные слагаемые с буквой: 6x − x = 6x − 1x = 5x. Коэффициент у слагаемого x равен 1, хотя единица обычно не пишется. Поэтому буквенная часть результата — 5x.

3. Сложим числа: 12 + 5 = 17. Теперь выражение записывается короче: 5x + 17. Буквенное слагаемое и число не являются подобными, поэтому объединить их нельзя.

4. Проверим результат, например, при x = 2. Исходное выражение даёт 3(2 · 2 + 4) − 2 + 5 = 3 · 8 − 2 + 5 = 27. Полученное выражение тоже даёт 5 · 2 + 17 = 27, значит, проверка подтверждает ответ.

Ответ: 5x + 17. При проверке подстановкой важно взять одно и то же значение буквы для обеих записей. Такая проверка помогает заметить ошибку, но для доказательства равенства всё равно нужно правильно применить свойства действий.

Типичные ошибки

• Складывают слагаемые с разными буквами, например записывают 3a + 2b = 5ab. Так делают, потому что путают сложение с умножением. Проверь: буквенные части у слагаемых должны быть одинаковыми, поэтому 3a + 2b нельзя объединить.

• Умножают число перед скобками только на первое слагаемое: 2(a + 3) записывают как 2a + 3. Обычно забывают второй множитель, потому что скобки воспринимают как одно целое. Проверь, умножено ли число перед скобками на каждый член внутри: верно 2a + 6.

• Не меняют знаки при раскрытии скобок с минусом: −(a − 4) ошибочно превращают в −a − 4. Минус перед скобками означает, что каждое слагаемое умножается на −1. Проверь результат обратным раскрытием: −a + 4 действительно равно −(a − 4).

• Считают, что −x — это x, или забывают коэффициент 1: например, ошибочно получают 5x − x = 6x. Минус перед буквой означает коэффициент −1, значит, 5x − x = 5x − 1x = 4x. Проверка при x = 1 сразу покажет, что 6x не подходит.

Связь с другими темами

Упрощение выражений опирается на знакомые свойства сложения и умножения: переместительное, сочетательное и распределительное. Оно связано с порядком действий, потому что при преобразовании важно правильно работать со скобками и знаками. Умение упрощать выражения пригодится при вычислениях с буквами и при решении уравнений: короткую запись легче сравнивать и использовать.

Что запомнить

• Упрощение должно сохранять значение выражения.
• Складывать можно только подобные слагаемые: складываются коэффициенты, буквенная часть остаётся.
• При раскрытии скобок множитель умножают на каждое слагаемое внутри.
• Если перед скобками стоит минус, знаки всех слагаемых внутри меняются.
• Проверяй преобразования подстановкой одного и того же числа вместо буквы.