8.4. Понятие о вероятности

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные исходы известны. Например, перед броском кубика нельзя знать, какое число выпадет, но варианты от 1 до 6 известны. Это понятие помогает отделить случайные ситуации от тех, где результат можно предсказать точно.

Исход случайного опыта — один из возможных результатов опыта. Выпадение числа 3 при броске кубика — отдельный исход, а событие «выпало число больше 4» включает исходы 5 и 6. Различать исходы и события нужно, чтобы правильно посчитать, сколько результатов подходят условию задачи.

Вероятность события — числовая мера того, насколько возможно его наступление. Если все исходы равновозможны, вероятность находят так: число благоприятных исходов делят на общее число исходов. Благоприятными называют исходы, при которых событие происходит; эта формула позволяет сравнивать шансы разных событий.

Достоверное событие обязательно произойдёт, а невозможное при данном опыте не произойдёт. Например, при броске кубика выпадет число от 1 до 6 — это достоверное событие, а число 8 — невозможное. Их вероятности равны соответственно 1 и 0, поэтому они показывают крайние значения вероятности.

Как это устроено

При броске монеты возможны два исхода: герб или решка, а при броске кубика — числа от 1 до 6. Перечисление вариантов помогает не забыть исход и понять, из чего складывается событие. Хотя результат одного опыта заранее неизвестен, список возможных результатов можно составить заранее. Поэтому задача о вероятности начинается с вопроса: какие исходы вообще могут получиться?

Для правильной монеты герб и решка равновозможны: монета симметрична, и ни одна сторона не получает преимущества. У правильного кубика все шесть граней устроены одинаково, поэтому каждый номер имеет одинаковый шанс выпасть. Равновозможность не означает, что в каждой серии результаты будут поровну: случайность может дать несколько гербов подряд. Она означает, что до опыта ни один исход не предпочтительнее остальных.

Чтобы найти вероятность события, сначала перечисляют все равновозможные исходы, затем отмечают те, при которых событие происходит. Их называют благоприятными исходами. После этого число благоприятных исходов делят на общее число исходов: например, для числа 4 на кубике подходит один из шести вариантов, значит, вероятность равна 1/6. Такой порядок важен: если пропустить исход или посчитать неподходящий, ответ изменится.

Вероятность можно сопоставить с частотой — долей опытов, в которых событие действительно произошло. Например, при многократных бросках монеты доля выпадений герба может сначала быть заметно выше или ниже половины. Это происходит потому, что результаты отдельных бросков случайны. При большом числе повторений частота обычно становится ближе к теоретической вероятности, но не обязана точно совпасть с ней.

Вероятность не может быть меньше 0: число благоприятных исходов не бывает отрицательным. Она не может быть больше 1, потому что благоприятных исходов не может быть больше, чем всех возможных исходов. Если подходят все исходы, вероятность равна 1; если не подходит ни один — 0. Например, вероятность выпадения числа 4 на кубике равна 1/6, то есть находится между этими границами.

Вероятность события в простых случайных опытах

Сначала найдите в таблице строку, которая подходит к вопросу: она поможет назвать исходы или событие. Затем проверьте, что варианты равновозможны, и посчитайте подходящие исходы. Строка о границах позволяет проверить, похож ли ответ на возможную вероятность.

Разбор задач

Задача 1. Число 4 на кубике

Правильный кубик бросают один раз. Нужно найти вероятность выпадения числа 4. У правильного кубика все грани равновозможны.

1. Перечислим все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего их 6.
2. Подходит только один исход — выпадение числа 4. Значит, благоприятный исход один.
3. Разделим число благоприятных исходов на общее число: 1/6.

Ответ: вероятность равна 1/6. Это меньше 1, потому что число 4 может не выпасть. При этом вероятность больше 0, так как такой исход возможен.

Задача 2. Число больше 4

Правильный кубик бросают один раз. Найдём вероятность выпадения числа, большего 4. Сначала важно не ограничиваться одним подходящим числом: условию могут соответствовать несколько исходов.

1. Все возможные исходы — числа от 1 до 6, поэтому их 6. Они равновозможны.
2. Числа больше 4 — это 5 и 6. Благоприятных исходов два.
3. Делим 2 на 6 и получаем 2/6 = 1/3. Дробь сокращаем на 2.

Ответ: вероятность равна 1/3. Мы учли оба подходящих числа, а не только одно из них. Полученная дробь находится между 0 и 1.

Задача 3. Шары в мешке

В мешке лежат 3 красных и 2 синих одинаковых по размеру шара. Наугад вынимают один шар. Найдём вероятность вынуть шар не синего цвета, то есть красный. Каждый отдельный шар имеет одинаковый шанс оказаться выбранным.

1. Общее число вариантов равно числу шаров: 3 + 2 = 5. Чтобы считать варианты правильно, можно мысленно различить даже шары одного цвета.
2. Событию «не синий» подходят все три красных шара. Значит, благоприятных вариантов 3.
3. Делим 3 на 5 и получаем вероятность 3/5. Проверяем, что она не больше 1.

Ответ: вероятность вынуть красный шар равна 3/5. Синие шары не подходят событию, но входят в общее число возможных вариантов. Поэтому в знаменателе стоит 5, а не только число красных шаров.

Типичные ошибки

Ошибка: считать только названия исходов, например «красный» и «синий», когда в мешке лежит несколько отдельных шаров. Так делают, потому что предметы одного цвета кажутся одинаковыми. Но каждый шар — отдельный вариант выбора, и шанс выбирания у каждого одинаков; проверяйте, что перечислили именно все возможные варианты.

Ошибка: поставить в знаменатель только благоприятные исходы или забыть часть возможных. Например, для числа больше 4 на кубике знаменатель равен 6, а не 2. Это случается, если внимание сосредоточено только на условии события. Перед вычислением выпишите полный список исходов и пересчитайте его.

Ошибка: применять формулу отношения исходов, не проверив их равновозможность. Если какие-то варианты имеют преимущество, простое деление числа подходящих исходов на общее число может дать неверный ответ. Проверяйте, одинаковы ли шансы вариантов по условию опыта. Если это неизвестно, одной формулы для равновозможных исходов недостаточно.

Ошибка: считать, что вероятность обязательно равна частоте в одном опыте или что она всегда выражается целым числом процентов. Частота зависит от того, что произошло в конкретной серии, а вероятность описывает теоретический шанс. Сверяйтесь с формулой и помните, что ответ может быть дробью, например 1/6. Проверьте также, что он находится от 0 до 1.

Связь с другими темами

Чтобы находить вероятность, пригодится умение считать варианты и сравнивать натуральные дроби. Перечисление исходов похоже на решение задач, где нужно рассмотреть все способы выбора или все возможные результаты. Дробь показывает, какую часть всех исходов составляют благоприятные, поэтому знакомство с дробями помогает понять формулу вероятности. Позже вероятность пригодится при изучении статистики и обработке результатов наблюдений: там сравнивают события и данные, полученные в опытах.

Что запомнить

• Вероятность описывает возможность наступления события.
• Формулу отношения исходов применяют, когда все исходы равновозможны.
• Вероятность равна числу благоприятных исходов, делённому на число всех исходов.
• Вероятность любого события находится между 0 и 1 включительно.
• Вероятность невозможного события равна 0.
• Вероятность достоверного события равна 1.