8.5. Занимательные задачи

Определения и обозначения

Логическая задача — задача, в которой ответ находят, анализируя условия и связи между ними, а не применяя одну готовую формулу. Нужно понять, какие сведения связаны друг с другом и что из них следует. Такой подход помогает решать задачи, где важнее рассуждение, чем вычисления.

Перебор вариантов — последовательная проверка всех возможных случаев с исключением неподходящих. Например, можно выписывать сочетания чисел в порядке возрастания. Перебор полезен, когда случаев немного и нужно убедиться, что ответ не пропущен.

Инвариант — величина или свойство, которое не меняется при разрешённых действиях в задаче. Если проследить за ним от начала до конца, можно доказать, что некоторый результат невозможен. Например, иногда сохраняется чётность суммы чисел.

Чётность числа — его свойство быть чётным или нечётным. Чётные числа делятся на 2 без остатка, а нечётные при делении на 2 дают остаток 1. Чётность помогает отсеивать варианты, которые не могут привести к нужному ответу.

Как это устроено

Сначала точно выясни, что дано и что требуется найти или доказать. Одно и то же условие можно понять неверно, если пропустить слово или не заметить ограничение. Поэтому полезно пересказать задачу своими словами и проверить, что все важные сведения учтены. Тогда станет понятнее, какой способ рассуждения выбрать.

Если возможных случаев ограниченное число, составь полный и упорядоченный перебор. Заранее реши, в каком порядке будешь проверять варианты: например, фиксируй первое число, а затем подбирай остальные. Такой порядок помогает не перескакивать между случаями и не записывать один вариант дважды. В конце проверь, что рассмотрены все допустимые случаи, а не только те, которые первыми пришли в голову.

При поиске инварианта проследи, как меняются числа после разрешённого действия. Иногда сами числа меняются, но сохраняется их чётность, сумма по определённому правилу или другое свойство. Если начальное и требуемое конечное состояния имеют разные значения этого свойства, перейти от одного к другому нельзя. Значит, инвариант позволяет доказать невозможность без перебора всех последовательностей действий.

Чётность особенно удобна, когда задача связана со сложением, вычитанием или заменой чисел. Сумма или разность двух чисел одной чётности чётна, а чисел разной чётности — нечётна. Поэтому можно проверить, способен ли результат иметь нужную чётность. Это не всегда даёт весь ответ, но помогает сразу исключить неподходящие варианты.

Найденный ответ нужно сверить со всеми условиями задачи, потому что верное вычисление ещё не гарантирует, что случай подходит целиком. Проверь, использованы ли все ограничения и не появилось ли противоречие. Для доказательства невозможности также нужно объяснить, почему исключены все случаи, а не только несколько примеров. Понятная запись рассуждений позволяет другому человеку проверить каждый шаг.

Приёмы решения занимательных задач

Сначала выбери в таблице приём, который подходит к условию, а затем выполни указанные действия. Иногда полезно совместить несколько приёмов: например, рассуждать логически и проверить оставшиеся случаи перебором. Последняя колонка напоминает, каким способом убедиться, что вывод надёжен.

Разбор задач

Задача 1. В трёх коробках лежат яблоки. На коробках написано: «Яблоки», «Груши», «Яблоки и груши». Все надписи неверны. Как, вынув один фрукт из одной коробки, определить содержимое каждой коробки?

1. Начнём с коробки с надписью «Яблоки и груши». Надпись неверна, поэтому смесь в ней лежать не может: там только яблоки или только груши.
2. Вынем из этой коробки один фрукт. Если это яблоко, значит, в коробке только яблоки. Если это груша, значит, там только груши.
3. Допустим, вынули яблоко. Коробка с надписью «Груши» не может содержать груши, а яблоки уже определены, значит, в ней смесь. Последняя коробка содержит груши. Если вынули грушу, рассуждение симметрично: коробка с надписью «Яблоки» содержит смесь, а оставшаяся — яблоки.

Ответ: достаточно вынуть фрукт из коробки с надписью «Яблоки и груши» и применить описанный разбор. Выбор этой коробки важен: неверная надпись сразу гарантирует, что в ней один вид фруктов.

Задача 2. Можно ли из чисел 1, 2, 3, 4, 5 выбрать несколько так, чтобы их сумма была равна 12?

1. Чтобы доказать, что это возможно, достаточно найти один подходящий набор чисел. Проверим крупные числа: 3 + 4 + 5 = 12.
2. Все три числа есть в списке, они различны, а их сумма действительно равна требуемому числу. Значит, найденный набор удовлетворяет условию.
3. Для вопроса «можно ли?» достаточно такого примера: проверять остальные наборы необязательно. Если бы требовалось перечислить все способы, тогда понадобился бы полный упорядоченный перебор.

Ответ: да, можно выбрать числа 3, 4 и 5.

Задача 3. На доске записаны числа от 1 до 10. За ход разрешается стереть два числа и записать вместо них их разность. Можно ли после нескольких ходов получить одно число, равное нулю?

1. Посчитаем сумму чисел в начале: 1 + 2 + … + 10 = 55. Она нечётная.
2. Проверим один ход. Пусть стёрли числа a и b, а вместо них записали их разность. Чётность разности такая же, как у суммы a + b: если числа одной чётности, обе суммы и разность чётны; если разной — обе нечётны.
3. Значит, чётность общей суммы на доске не меняется: часть a + b заменяется числом той же чётности. После каждого хода сумма остаётся нечётной.
4. Если бы на доске осталось одно число 0, сумма была бы чётной. Это противоречит сохранению нечётной суммы.

Ответ: получить ноль нельзя. Здесь инвариант — чётность суммы чисел на доске.

Типичные ошибки

Начинать действовать, не уточнив цель. Тогда можно считать или пробовать варианты, которые не отвечают на вопрос задачи. Так происходит, когда читают условие торопливо и сразу хватаются за знакомые вычисления. Сначала сформулируй, что требуется найти или доказать, и проверь, какие данные для этого важны.

Перебирать случаи беспорядочно. При случайных проверках легко пропустить вариант или учесть один и тот же случай дважды. Обычно это происходит, если нет заранее выбранного порядка записи. Составь список, таблицу или правило перебора и отмечай уже рассмотренные случаи.

Объявлять задачу невозможной после нескольких проб. Несколько неудачных попыток не доказывают, что подходящего случая нет. Ошибку допускают, когда принимают личный опыт за полный перебор. Проверь, действительно ли рассмотрены все случаи, или найди свойство-инвариант, которое запрещает нужный результат при любых действиях.

Не проверять найденный ответ по каждому условию. Подходящий на первый взгляд результат может нарушать одно из ограничений задачи. Это часто случается, когда проверяют только вычисление, но забывают о смысле ответа. Подставь найденный вариант в каждое условие и объясни, почему он подходит целиком.

Связь с другими темами

Для занимательных задач нужны действия с натуральными числами, сравнение чисел и внимательное чтение условия. Логический анализ и полный перебор помогают решать текстовые и комбинаторные задачи, в которых нужно выбирать или располагать предметы. Инварианты и чётность дают инструменты для нестандартных задач и математических олимпиад. Эти приёмы полезны и тогда, когда привычная формула не приводит к ответу.

Что запомнить

• Внимательно выясняй, что известно и что требуется найти.
• Записывай рассуждения так, чтобы их можно было проверить.
• Перебирай варианты последовательно и без пропусков.
• Ищи свойства, которые не меняются при действиях.
• Проверяй, как чётность ограничивает возможный ответ.
• Сверяй найденный ответ со всеми условиями.