Действие деления

Определения и обозначения

Деление — действие, обратное умножению: разделить число a на ненулевое число b — значит найти число, произведение которого на b равно a. Иными словами, деление позволяет по произведению и одному множителю восстановить другой. Это помогает находить неизвестное число в задачах и уравнениях.

Делимое — число, которое делят. В записи a : b = c делимым является число a, то есть исходное количество или величина. По нему определяют, что нужно распределить или уменьшить в несколько раз.

Делитель — число, на которое делят. В записи a : b = c это число b, причём b не равно нулю. Делитель показывает, на сколько равных частей делят величину или во сколько раз её уменьшают.

Частное — результат деления, число c в записи a : b = c. Оно показывает, сколько получится в каждой равной группе или во сколько раз одна величина меньше другой. Частное удобно проверять умножением на делитель.

Как это устроено

Деление связано с умножением равенством a : b = c и b · c = a. Если известно, что 7 · 12 = 84, то из этого сразу следует 84 : 7 = 12 и 84 : 12 = 7. Поэтому при делении можно подбирать частное, вспоминая подходящее произведение.

Деление можно понимать как распределение поровну. Например, 12 предметов можно разделить на 3 равные группы, и в каждой окажется 4 предмета: 12 : 3 = 4. В другой ситуации заранее известно количество предметов в группе, а делением находят число таких групп.

Если делимое делится на делитель без остатка, частное является целым числом. Когда точного целого результата нет, частное записывают дробью или десятичной дробью: 1 : 2 = ½ = 0,5. Такая запись точно показывает результат, даже если предметы нельзя распределить поровну целыми штуками.

Знак частного определяется правилами умножения. При одинаковых знаках результат положителен, потому что произведение двух чисел с одинаковыми знаками положительно. При разных знаках результат отрицателен, так как произведение чисел с разными знаками отрицательно.

На ноль делить нельзя, поскольку произведение любого числа на ноль равно нулю. Если делимое ненулевое, не найдётся такого частного, которое после умножения на ноль даст это делимое. Ноль на ненулевое число делить можно: 0 : b = 0, ведь b · 0 = 0.

Правила деления чисел

Сначала определите, допустимо ли деление: делитель должен быть ненулевым. Затем установите знак частного и выполните деление модулей, то есть чисел без знаков. Полученный результат можно проверить умножением частного на делитель.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 84 : 7.

Нужно найти число, которое при умножении на 7 даст 84. Можно воспользоваться таблицей умножения или подобрать множитель по известному произведению.

1. Ищем такое число c, чтобы 7 · c = 84.
2. Так как 7 · 12 = 84, частное равно 12.
3. Проверяем: 12 · 7 = 84, значит, вычисление верно.

Ответ: 12.

Задача 2. Вычислите (−3,6) : 0,6.

У делимого отрицательный знак, а делитель положительный, поэтому частное будет отрицательным. После определения знака достаточно разделить модули чисел и не забыть вернуть знак результату.

1. Определяем знак: − : + = −.
2. Делим модули: 3,6 : 0,6 = 6.
3. Записываем знак: (−3,6) : 0,6 = −6.
4. Проверяем умножением: −6 · 0,6 = −3,6.

Ответ: −6.

Задача 3. Для приготовления 1,5 л напитка используют 0,25 л сока на одну порцию. Сколько порций можно приготовить?

Общий объём сока делят на объём одной порции. Поэтому нужно вычислить 1,5 : 0,25, а не 0,25 : 1,5: делимое показывает весь имеющийся объём, а делитель — размер одной порции.

1. Записываем действие: 1,5 : 0,25.
2. Умножаем делимое и делитель на 100, чтобы убрать запятые: 150 : 25.
3. Вычисляем: 150 : 25 = 6.
4. Проверяем смысл ответа: 6 порций по 0,25 л дают 1,5 л.

Ответ: 6 порций.

Типичные ошибки

Первая ошибка — менять местами делимое и делитель. В отличие от сложения и умножения, порядок чисел при делении важен: 12 : 3 и 3 : 12 дают разные результаты. Проверьте себя вопросом: какое количество распределяют и размер какой части известен?

Некоторые считают, что ноль делить на число нельзя. На самом деле 0 : b = 0, если b не равен нулю, потому что b · 0 = 0. Для проверки подставьте результат обратно в умножение.

Нельзя полагать, что любое число можно разделить на ноль. Такое действие не определено: не существует частного, которое после умножения на ноль даст ненулевое число. Увидев нулевой делитель, остановитесь и не выполняйте вычисление.

Ошибка в знаке возникает, когда забывают сравнить знаки делимого и делителя. Одинаковые знаки дают положительное частное, разные — отрицательное. Сначала определите знак, затем делите модули и проверьте ответ умножением.

Связь с другими темами

Для деления нужно знать таблицу умножения и понимать обратную связь этих действий. Поиск частного фактически означает поиск неизвестного множителя. Проверка умножением помогает обнаружить ошибку.

При делении дробей и десятичных дробей применяют ту же связь с умножением. Нужно внимательно работать с запятыми, знаками и величинами. Например, умножение делимого и делителя на 100 может упростить деление десятичных дробей.

Деление встречается в уравнениях и практических задачах. С его помощью находят неизвестный множитель, цену одной единицы, число порций или размер равной части. Поэтому смысл действия важен не меньше, чем вычислительный навык.

Что запомнить

• Деление — действие, обратное умножению.
• Частное a : b — число, для которого b · (a : b) = a.
• На ноль делить нельзя.
• Ноль, разделённый на ненулевое число, равен нулю.
• При одинаковых знаках частное положительно, при разных — отрицательно.
• Результат деления можно проверить умножением частного на делитель.