"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Умножение на 1 и на 0 — особые случаи умножения, которые помогают быстро вычислять выражения и решать задачи. Если число умножить на 1, оно останется таким же: a · 1 = a. Если умножить его на 0, получится ноль: a · 0 = 0. Эти правила работают и тогда, когда единица или ноль стоят слева от числа. Чтобы не ошибаться, нужно отличать умножение от сложения и продолжать вычисления с учётом порядка действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, которое участвует в умножении. В записи a · 1 множителями являются a и 1, а единица выступает особым множителем, который не меняет число. В записи a · 0 ноль тоже является множителем, но произведение с ним становится нулём.
Произведение — результат умножения. Например, в выражении a · 1 произведением называют результат умножения a на 1, а в выражении a · 0 — результат умножения a на 0. Это слово помогает отличать результат действия от самих множителей.
Умножение на 1 — действие, при котором число не изменяется: a · 1 = a и 1 · a = a. Здесь a обозначает любое число, а запись справа или слева от него показывает расположение множителей. Правило удобно применять, чтобы сразу убирать умножение на единицу и не выполнять лишние действия.
Умножение на 0 — действие, результатом которого всегда является ноль: a · 0 = 0 и 0 · a = 0. Какое бы число ни обозначало a, произведение равно 0. Это правило позволяет быстро упростить выражение, если среди множителей есть ноль.
Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых: например, 4 · 3 означает взять число 4 три раза, то есть 4 + 4 + 4. Если второй множитель равен 1, берётся всего одно слагаемое, равное исходному числу. Поэтому a · 1 = a: число не прибавляется к себе несколько раз, а остаётся единственным слагаемым.
При умножении числа на 0 слагаемых не берётся ни одного. Сумма, в которой нет слагаемых, считается равной нулю, поэтому a · 0 = 0. Это объяснение показывает, почему результат не зависит от значения a: ноль слагаемых не образует никакого количества.
Множители можно менять местами, не изменяя произведение. Поэтому правило для числа справа от единицы или нуля сразу даёт правило для числа слева: 1 · a = a и 0 · a = 0. Можно также представить 1 · a как a, взятое один раз, а 0 · a — как ноль таких слагаемых.
Чтобы распознать особый случай, найди в записи знак умножения и посмотри на оба множителя. Если один из них равен 1, произведение заменяется другим множителем; если один равен 0, произведение заменяется нулём. Например, 19 · 1 превращается в 19, а 19 · 0 — в 0.
После упрощения произведения вычисления не всегда закончены: в выражении могут оставаться сложение, вычитание или другие действия. Их нужно выполнить по правилам порядка действий. Например, в записи 0 · 8 + 3 сначала получают 0 + 3, а затем складывают и получают 3; само правило умножения не заменяет всё выражение нулём.
В таблице собраны оба расположения множителей и общий вывод для каждого особого множителя. В примерах вместо a взяты конкретные числа, чтобы правило было видно в действии. Используй таблицу так: найди нужный случай, замени произведение результатом и продолжи вычисления, если в выражении есть другие действия.
| Случай | Правило | Пример | Результат |
|---|---|---|---|
| Число умножается на 1 справа | a · 1 = a | 8 · 1 | 8 |
| 1 умножается на число слева | 1 · a = a | 1 · 8 | 8 |
| Число умножается на 0 справа | a · 0 = 0 | 8 · 0 | 0 |
| 0 умножается на число слева | 0 · a = 0 | 0 · 8 | 0 |
| Общий вывод о произведении с 1 | Произведение равно другому множителю | a · 1 | a |
| Общий вывод о произведении с 0 | Произведение равно нулю | a · 0 | 0 |
Задача 1. Вычислить: 48 · 1. Здесь число 48 умножается на единицу. Значит, произведение равно множителю 48, и дополнительное вычисление не требуется.
Ответ: 48. Проверка простая: умножение на единицу не должно ни увеличить, ни уменьшить число. Поэтому результат совпадает с исходным числом 48.
Задача 2. Вычислить: 0 · 27 + 6 · 1. В выражении есть два произведения: одно с нулём, другое с единицей. Сначала упростим оба произведения, а после этого выполним сложение, которое осталось.
Ответ: 6. Важно не останавливаться после замены произведений: в исходном выражении между ними стоял знак сложения. Также нельзя объявлять всё выражение нулём только потому, что ноль встретился в одном из произведений.
Задача 3. В школьной библиотеке было 35 коробок с книгами. Сколько книг оказалось бы в 0 таких коробках и сколько книг — в 1 такой коробке, если в каждой коробке 24 книги? Количество книг в нескольких одинаковых коробках находим умножением числа книг в одной коробке на число коробок. Здесь число 24 — количество книг в каждой коробке, а 0 или 1 — число коробок, для которого нужно выполнить расчёт.
Ответ: в 0 коробках — 0 книг, в 1 коробке — 24 книги. Смысл результатов согласуется с условием: пустое количество коробок не содержит книг, а одна коробка содержит ровно столько, сколько указано для каждой коробки.
Ошибка: считать, что a · 0 = a, потому что число записано первым. Так рассуждают, смешивая умножение с прибавлением нуля, при котором число действительно сохраняется. Проверь себя: здесь стоит знак умножения, значит, действует правило a · 0 = 0.
Ошибка: считать, что a · 1 = 1. Единица не заменяет результат, а является множителем, который не изменяет другой множитель. Для проверки возьми пример 9 · 1: ответом должно быть 9, а не 1.
Ошибка: применять правило умножения на ноль к сложению и получать a + 0 = 0. Это происходит, когда не обращают внимания на знак действия: умножение на 0 и прибавление 0 — разные случаи. Проверь запись: a + 0 = a, а нулевым становится произведение, в котором один из множителей равен нулю.
Ошибка: после упрощения произведений неверно вычислять оставшуюся часть выражения. Например, можно забыть выполнить сложение после замены множителей или нарушить порядок действий. Запиши промежуточный результат отдельной строкой и проверь, какие знаки действий остались.
Чтобы понять эти правила, нужно знать смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых, названия компонентов действия и таблицу умножения. Правила пригодятся при устных и письменных вычислениях, упрощении числовых выражений и решении текстовых задач. Они помогают заменять простые произведения без долгих вычислений. Позже эти знания понадобятся при изучении свойств умножения, буквенных выражений и распределительного закона.
Почему при умножении на 1 число не изменяется?
Умножить число на 1 — значит взять одно слагаемое, равное этому числу. Одно такое слагаемое и есть исходное число, поэтому a · 1 = a.
Почему любое число, умноженное на 0, даёт ноль?
При умножении на 0 нужно взять ноль слагаемых, и их сумма равна 0. Поэтому a · 0 = 0 независимо от того, чему равно a.
Одинаковы ли правила, если 1 или 0 стоят слева от числа?
Да. При перестановке множителей произведение не меняется: 1 · a = a, а 0 · a = 0.
Можно ли применять правило умножения на 0 к сумме или разности?
Нет, правило относится к произведению, а не к сложению или вычитанию. Например, a + 0 = a, а не 0.
Как не ошибиться в выражении, где вместе встречаются умножение на 1 и на 0?
Сначала упростите каждое произведение с 1 или 0, а затем выполните оставшиеся действия по порядку. Если есть сложение и умножение, сначала выполняют умножение.
Умножение на 1 и на 0
