"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Формула умножения помогает находить число способов, если результат получается последовательным выполнением нескольких выборов. Нужно определить этапы, узнать количество вариантов на каждом из них и перемножить эти числа. Правило используют при составлении чисел, кодов, маршрутов и пар предметов. Если число вариантов зависит от предыдущего выбора, каждую ситуацию рассматривают отдельно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула умножения, или правило произведения, говорит: если действие состоит из последовательных этапов, общее число способов равно произведению числа вариантов на каждом этапе. Например, при 3 напитках и 4 пирожных получится 3 · 4 пар. Правило нужно, чтобы быстро считать составные результаты, не перечисляя их по одному.
Этап выбора — часть составного действия, выполняемая в определённый момент. На нём нужно установить, сколько вариантов доступно с учётом уже сделанного выбора. Выделение этапов помогает не пропустить условие задачи и не посчитать один результат дважды.
Составной выбор включает несколько последовательных этапов, а каждый его результат задаётся сочетанием выбранных вариантов. Например, маршрут может состоять из выбора дороги туда и выбора дороги обратно. Это понятие показывает, что один результат состоит не из одного предмета, а из полной последовательности выборов.
Дерево вариантов — схема, где из каждого выбранного варианта выходят возможные продолжения. Первый уровень показывает первый этап, следующий уровень — второй и так далее. Такая схема нужна для наглядной проверки всех ветвей, особенно если их условия различаются.
Рассмотрим два этапа: сначала выбирают один из 3 напитков, затем одно из 4 пирожных. Для каждого выбранного напитка доступны все 4 пирожных, значит, от каждой из 3 ветвей отходят по 4 продолжения. Общее число пар равно 4 + 4 + 4 = 3 · 4, потому что складываются одинаковые группы вариантов.
Рассуждение продолжается для любого числа этапов. Если на первом этапе есть a вариантов, на втором для каждого результата доступно b вариантов, а на третьем — c, то число итогов равно a · b · c. Сначала получают a · b промежуточных результатов, а затем каждый из них продолжается c способами.
Чтобы применить правило, сначала спросите себя, что считается одним результатом задачи. Затем разложите действие на последовательные этапы и для каждого определите доступное число вариантов. После вычисления проверьте, что каждый результат построен ровно один раз и что ни одно условие не осталось без учёта.
Число вариантов следующего этапа иногда зависит от предыдущего выбора. Например, после выбора одной цифры без повторений для второго места остаётся на одну цифру меньше. В дереве разные ветви могут иметь разное число продолжений, поэтому сначала считают количество итогов в каждой ветви, а затем складывают результаты ветвей.
Умножение и сложение отвечают на разные вопросы. Умножают, когда один результат требует выполнить несколько выборов подряд: выбрать напиток и пирожное. Складывают, когда выбирают один из взаимоисключающих способов: например, добираются до места автобусом или поездом, и один маршрут не относится сразу к обоим случаям.
Таблица помогает выбрать правильное действие. Сначала определите, идут ли выборы последовательно или описывают альтернативные случаи, затем проверьте зависимость вариантов от предыдущих решений.
| Ситуация | Как устроен выбор | Что делать с числами вариантов | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Последовательный выбор с одинаковым числом вариантов на каждом этапе | Несколько этапов выполняются один за другим | Перемножить числа вариантов | Один результат включает выбор на каждом этапе |
| Последовательный выбор, где число вариантов зависит от предыдущего этапа | Разные ветви имеют разное число продолжений | Посчитать варианты по ветвям и сложить результаты | Учитывать ограничения после каждого выбора |
| Выбор одного из нескольких взаимоисключающих способов | Выбирается только один случай из нескольких | Сложить числа вариантов | Случаи не должны пересекаться |
| Составное условие с этапами и альтернативами | Внутри каждого случая есть последовательные этапы | Сначала умножить внутри случаев, затем сложить случаи | Разделить задачу на понятные непересекающиеся ветви |
Условие. В кафе предлагают 3 напитка и 4 вида пирожных. Нужно выбрать одну пару «напиток и пирожное». Каждый напиток можно сочетать с любым пирожным.
Ответ: 12 разных пар. Мы не складываем 3 и 4, потому что итог включает одновременно и напиток, и пирожное.
Условие. Из цифр 1, 2, 3, 4 составляют двузначные числа, причём цифры не повторяются. Первой выбирают цифру десятков, второй — цифру единиц.
Ответ: 12 чисел. Второе число нельзя считать равным четырём, потому что выбранную цифру уже запрещено использовать повторно.
Условие. Из A в B ведут 3 дороги, а из B в C — 2 дороги. Нужно составить маршрут из A в C, а затем вернуться тем же путём. Требуется посчитать разные маршруты, а не отдельные прохождения дорог.
Ответ: 6 маршрутов. Нельзя дополнительно умножать на число дорог при возвращении, так как обратный путь уже задан условием.
Складывают варианты последовательных этапов. Так происходит, когда путают составной результат с выбором одного способа. Проверьте себя: если в ответе должны одновременно присутствовать результаты обоих этапов, числа нужно умножать.
Умножают, не выяснив, что считается результатом. Из-за этого можно не учесть запрет, обязательное возвращение или другое условие. Перед вычислением опишите один итог словами и проверьте, полностью ли он построен.
Считают одинаковое число вариантов на каждом этапе. Предыдущий выбор может убрать часть доступных предметов или изменить условия продолжения. Нарисуйте несколько ветвей дерева и сравните количество продолжений в каждой.
Не уменьшают число вариантов при выборе без повторений. Выбранная цифра, буква или предмет уже недоступны на следующем этапе. Проверьте каждый множитель: он должен показывать количество ещё не использованных вариантов.
Для этой темы нужно уметь различать отдельные варианты и составные результаты, а также выполнять умножение натуральных чисел. Полезно внимательно читать условие и выделять ограничения, например запрет повторений.
Правило произведения применяется в комбинаторных задачах, при подсчёте исходов случайного опыта и при составлении чисел, кодов и маршрутов. Оно связывает простые арифметические действия с подсчётом возможных результатов.
Почему при последовательном выборе варианты нужно умножать?
Каждому варианту первого этапа можно сопоставить варианты второго этапа. Поэтому общее число пар равно числу вариантов первого выбора, умноженному на число продолжений каждого варианта.
Когда в задаче нужно умножать, а когда складывать?
Умножают, когда результат включает несколько последовательных выборов. Складывают, когда нужно выбрать один из взаимоисключающих способов.
Что делать, если после первого выбора число вариантов меняется?
Нужно разделить варианты первого выбора на ветви и посчитать продолжения для каждой. Затем результаты ветвей складывают, если они описывают разные случаи.
Как правильно учитывать условие «без повторений»?
После каждого выбора исключают уже использованный предмет или цифру. Поэтому число доступных вариантов на следующем этапе обычно уменьшается.
Всегда ли нужно рисовать дерево вариантов?
Нет, для маленьких задач достаточно записать этапы и выполнить умножение. Дерево полезно, когда вариантов много или число продолжений зависит от предыдущего выбора.
Формула умножения
