Как измерять объёмы?

Определения и обозначения

Объём тела — величина, которая показывает, сколько места занимает тело в пространстве. Объёмы сравнивают: тело, занимающее больше места, имеет больший объём. Это понятие нужно, чтобы измерять предметы, вместимость коробок и размеры пространственных объектов.

Единица объёма — выбранный объём, с которым сравнивают объём тела. Измерить объём значит узнать, сколько таких одинаковых единиц вмещает тело. Единица нужна для того, чтобы результат можно было точно записать и сравнить с другими объёмами.

Кубический сантиметр — объём куба, ребро которого равно 1 см. Его обозначают см³; верхний индекс 3 показывает три измерения куба. Эта единица удобна для небольших предметов, например деталей или маленьких коробок.

Кубический метр — объём куба с ребром 1 м. Обозначение этой единицы — м³. Кубические метры используют для измерения больших объёмов: комнат, помещений, кузовов и сооружений.

Как это устроено

Измерить объём означает сравнить тело с единицей объёма. Если внутри тела помещается пять одинаковых единичных кубов, его объём равен пяти таким единицам. Поэтому число единиц показывает не форму сравнения, а конкретное количество места, занятого телом.

Единичными кубами тело заполняют полностью, не оставляя промежутков и не накладывая кубы друг на друга. Промежуток означал бы, что часть объёма не измерена, а наложение привело бы к повторному счёту одного и того же места. Только при плотном заполнении результат получается точным.

В кубе с ребром 1 дм вдоль каждого измерения помещается по 10 кубиков с ребром 1 см, потому что 1 дм = 10 см. В одном слое будет 10 · 10 = 100 кубиков, а по высоте таких слоёв тоже 10. Поэтому 1 дм³ = 10 · 10 · 10 = 1000 см³.

Единицу выбирают по размеру предмета, чтобы измерение было удобным. Маленький предмет в кубических сантиметрах даёт понятное число, а запись его объёма в кубических метрах была бы неудобной и дробной. Для комнаты или большого сооружения, наоборот, подходят кубические метры.

Прямоугольный ящик можно заполнить кубиками слоями. В одном слое помещается столько кубиков, сколько их укладывается по длине и ширине, то есть a · b, а число слоёв равно высоте h. Поэтому общее число кубиков и объём ящика равны a · b · h, если размеры измерены в единицах ребра кубика.

Единицы измерения объёма и соотношения между ними

Сначала определите, какие единицы сравниваются, а затем найдите переход между ними. При переходе к большей кубической единице число уменьшается в 1000 раз, а при переходе к меньшей — увеличивается в 1000 раз. Перед вычислениями проверьте, что все размеры записаны в согласованных единицах.

Разбор задач

Задача 1. Сколько кубических сантиметров составляет объём куба с ребром 1 см? Нужно определить, какой единице объёма соответствует данный куб. Здесь уже задан единичный куб, поэтому дополнительных вычислений не требуется.

1. Ребро куба равно 1 см.
2. По определению объём такого куба равен одной единице объёма.
3. Эта единица называется кубическим сантиметром и обозначается см³.

Ответ: 1 см³.

Задача 2. Выразим 3 дм³ в кубических сантиметрах. Сначала используем соотношение между одной кубической единицей, затем применим его к трём одинаковым объёмам. Единицы в ответе должны быть именно кубическими сантиметрами.

1. 1 дм³ = 1000 см³.
2. 3 дм³ = 3 · 1000 см³.
3. 3 · 1000 = 3000.

Ответ: 3 дм³ = 3000 см³.

Задача 3. В коробку длиной 4 дм, шириной 3 дм и высотой 2 дм укладывают кубики с ребром 1 дм. Требуется узнать число кубиков и объём коробки. Поскольку ребро каждого кубика равно 1 дм, число кубиков будет численно равно объёму в дм³.

1. В одном слое по длине помещается 4 кубика, а по ширине — 3.
2. В одном слое: 4 · 3 = 12 кубиков.
3. Слоёв два, поэтому всего: 12 · 2 = 24 кубика.
4. Объём коробки: 4 · 3 · 2 = 24 дм³.

Ответ: поместится 24 кубика, объём коробки равен 24 дм³.

Типичные ошибки

Ошибка 1: 1 дм³ = 10 см³. Так считают, если учитывают только одно измерение — длину ребра. Проверьте себя: у куба три измерения, поэтому нужно вычислить 10 · 10 · 10 = 1000.

Ошибка 2: переводить кубические единицы как линейные. Множитель 10 относится к отрезкам, а не к объёмам. При переходе между соседними кубическими единицами число меняется в 1000 раз, потому что 10 перемножается по трём направлениям.

Ошибка 3: записывать объём в квадратных единицах. Квадратные сантиметры или метры измеряют площадь, то есть поверхность. Если речь идёт о занимаемом пространстве, в записи должна быть кубическая единица: см³, дм³ или м³.

Ошибка 4: учитывать только один слой кубиков. Число кубиков в первом слое ещё не даёт общий объём. Умножьте число кубиков в слое на количество слоёв или сразу перемножьте длину, ширину и высоту.

Связь с другими темами

Для измерения объёма нужны навыки измерения длины и площади, а также умение переводить единицы длины. Особенно важно помнить, что при переходе к кубическим единицам множитель действует по трём измерениям.

Знание объёма помогает находить вместимость коробок, ящиков и других прямоугольных сосудов. Если размеры сосуда известны, по ним можно определить, сколько пространства доступно внутри.

Объём связан и с единицами вместимости. Например, при дальнейшем изучении темы можно использовать соотношение 1 дм³ = 1 л.

Что запомнить

• Объём показывает, сколько места занимает тело.
• Объём измеряют сравнением с единицей объёма.
• 1 см³ — объём куба с ребром 1 см.
• 1 дм³ = 1000 см³.
• 1 м³ = 1000 дм³.
• Объём прямоугольного ящика находят умножением его длины, ширины и высоты.