"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Её измеряют, сравнивая фигуру с квадратами одинаковой площади: считают, сколько таких квадратов помещается внутри. Для прямоугольника действует удобное правило: его площадь равна произведению длины на ширину. Разобравшись с квадратными сантиметрами, дециметрами и метрами, можно измерять как небольшие фигуры, так и большие площадки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Например, площадь стола помогает сравнить, сколько места он занимает, а площадь участка — оценить его размер. Это понятие нужно, чтобы измерять и сравнивать плоские фигуры, а не только их длины.
Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за единицу измерения. Чтобы определить площадь другой фигуры, её мысленно или на деле покрывают такими квадратами. Единица должна быть одинаковой для всех квадратов, иначе их количество нельзя будет правильно сравнить.
Квадратный сантиметр (см²) — площадь квадрата со стороной 1 см, а квадратный метр (м²) — площадь квадрата со стороной 1 м. В первом случае единица удобна для небольших предметов, во втором — для комнат и площадок. Обозначение со значком ² напоминает, что единица относится к квадрату, а не к отрезку.
Площадь выражают числом, которое показывает, сколько единичных квадратов укладывается внутри фигуры. Если в ней помещается 12 квадратов площадью 1 см² каждый, её площадь равна 12 см². Поэтому в записи площади обязательно указывают и число, и квадратную единицу.
Чтобы сравнить площади двух фигур, их удобно покрывать одинаковыми квадратами без промежутков и наложений. Тогда у фигур с большей площадью поместится больше таких квадратов. Если же использовать квадраты разного размера, простое сравнение их количества не даст верного результата: одна большая клетка может заменить несколько маленьких.
На клетчатой бумаге сначала считают клетки, целиком попавшие внутрь границы фигуры. Части клеток тоже нужно учесть: например, две половины, если они вместе составляют клетку, дают одну целую клетку. Такой подсчёт работает, когда все клетки одинаковы и граница не проходит так, что оставленные части забыты или посчитаны дважды.
Площадь обладает двумя полезными свойствами. Равные фигуры имеют равные площади, потому что одну можно совместить с другой без изменения её формы и размеров. Если фигуру разрезать на неперекрывающиеся части, площадь целой фигуры равна сумме площадей этих частей: каждая часть занимает свой участок, и вместе они покрывают исходную фигуру.
Число, которым выражена площадь, зависит от размера выбранной единицы. Например, один и тот же участок в квадратных сантиметрах будет иметь большее числовое значение, чем в квадратных метрах, потому что квадратный сантиметр гораздо меньше. Сама площадь при смене единицы не меняется — меняется только число и обозначение единицы измерения.
Представим прямоугольник, разбитый на квадраты площадью 1 см². Если его ширина составляет 4 см, в каждом ряду будет 4 квадрата, а если длина равна 7 см — таких рядов будет 7. Всего получится 4 · 7 квадратов, поэтому площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон: S = a · b. При записи результата указывают квадратную единицу, например см².
| Единица площади | Какой квадрат её задаёт | Соотношение с соседними единицами |
|---|---|---|
| Квадратный сантиметр (см²) | Квадрат со стороной 1 см | 100 см² = 1 дм² |
| Квадратный дециметр (дм²) | Квадрат со стороной 1 дм | 1 дм² = 100 см² |
| Квадратный метр (м²) | Квадрат со стороной 1 м | 1 м² = 100 дм² |
Выбирайте единицу по размеру измеряемого объекта: для небольших предметов обычно удобны см², для комнаты — м². При переводе между соседними квадратными единицами учитывайте, что в одном большем квадрате помещается 100 меньших. Поэтому из крупных единиц в мелкие переходят умножением на 100, а обратно — делением на 100.
Задача 1. На клетчатой бумаге изображена фигура, занимающая 18 целых клеток. Найдите её площадь, если сторона клетки равна 1 см. Поскольку клетка квадратная, её сторона сразу задаёт единицу, нужную для измерения площади. Остаётся выяснить, сколько таких единиц занимает фигура.
Одна клетка — квадрат со стороной 1 см, значит, её площадь равна 1 см². Каждая из 18 целых клеток вносит в площадь фигуры по одной такой единице. Складывая их площади, получаем 18 · 1 см² = 18 см².
Ответ: 18 см². Такой подсчёт возможен, потому что в условии названы целые одинаковые клетки. Если бы клетки были разного размера или фигура занимала их только частично, потребовался бы дополнительный подсчёт.
Задача 2. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 7 см и 4 см. Удобно представить, что прямоугольник покрыт квадратами со стороной 1 см. Тогда в каждом ряду будет 7 квадратов, а рядов получится 4.
Используем правило S = a · b, где a и b — длины соседних сторон прямоугольника. Подставляем данные: S = 7 · 4 = 28. Единицы длины сантиметры, поэтому произведение описывает число квадратов площадью 1 см².
Ответ: 28 см². Проверить результат можно подсчётом четырёх рядов по 7 клеток: 7 + 7 + 7 + 7 = 28. Складывать 7 и 4 вместо умножения нельзя: сумма длин сторон не показывает число единичных квадратов внутри прямоугольника.
Задача 3. Прямоугольная площадка имеет размеры 3 м и 5 м. Выразите её площадь в квадратных дециметрах. Сначала найдём площадь в единицах, соответствующих данным размерам, а затем переведём результат. Такой порядок помогает не смешивать вычисление площади с переводом единиц длины.
Находим площадь площадки: 3 · 5 = 15 м². Это площадь пятнадцати квадратов со стороной 1 м. Теперь используем соотношение 1 м² = 100 дм².
Переводим квадратные метры в квадратные дециметры: 15 · 100 = 1500 дм². Умножаем именно на 100, потому что квадрат со стороной 1 м разбивается на 10 рядов по 10 квадратов со стороной 1 дм. Ответ: 1500 дм².
Можно посчитать клетки, не проверив, одинакового ли они размера и все ли части фигуры учтены. Такая ошибка возникает, когда считают только целые клетки, хотя внутри границы остались части, которые вместе дают дополнительную клетку. Проверьте сетку и границу: сложите подходящие части клеток и убедитесь, что ни одна область не посчитана дважды.
При нахождении площади прямоугольника иногда складывают длины его сторон. Так происходит из-за смешения площади с периметром: периметр связан с длиной границы, а площадь — с числом квадратных единиц внутри. Проверьте смысл ответа: для площади сторон 7 см и 4 см нужно вычислить 7 · 4, а не 7 + 4.
При переводе квадратных единиц некоторые умножают на 10, как при переводе метров в дециметры. Но площадь учитывает два направления: в квадрате со стороной 1 м помещаются 10 рядов по 10 квадратов со стороной 1 дм. Значит, 1 м² = 100 дм²; полезно записать это соотношение до выполнения перевода.
Запись площади в сантиметрах вместо квадратных сантиметров — ошибка в единице измерения. Сантиметры показывают длину, а см² — площадь квадрата со стороной 1 см. Перед ответом проверьте, что единицы согласуются с вопросом: длина записывается в см, площадь — в см².
Для измерения площади нужны знания об единицах длины: сантиметре, дециметре и метре. Также нужно уметь измерять стороны фигуры и умножать натуральные числа, чтобы находить площадь прямоугольника. Понимание квадратных единиц пригодится при изучении площадей треугольника и других фигур. Оно помогает решать практические задачи — например, оценивать размер пола или участка и переводить результаты в подходящие единицы.
Что именно показывает площадь фигуры?
Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Её величину определяют, сравнивая фигуру с квадратом, площадь которого принята за единицу.
Почему площадь измеряют квадратными, а не обычными единицами длины?
Обычные единицы длины измеряют расстояние в одном направлении, а площадь описывает участок плоскости. Поэтому её измеряют квадратами: например, квадратный сантиметр — это квадрат со стороной 1 см.
Как найти площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге?
Нужно посчитать целые клетки внутри фигуры и учесть неполные клетки. Сначала проверьте, что клетки одинаковы, а граница фигуры не оставила незамеченных частей.
Почему площадь прямоугольника равна произведению его сторон?
Если разбить прямоугольник на единичные квадраты, в каждом ряду будет столько квадратов, сколько единиц длины составляет его сторона. Число рядов равно длине другой стороны, поэтому общее число квадратов находят умножением.
Как переводить квадратные метры в квадратные дециметры?
Один метр содержит 10 дециметров, поэтому квадрат со стороной 1 м разбивается на 10 рядов по 10 квадратов размером 1 дм². Значит, 1 м² = 100 дм², и при переводе квадратных метров в дециметры квадратные число умножают на 100.
Как измерять площади?
