Как измерять периметры?

Определения и обозначения

Периметр — длина границы фигуры. У многоугольника граница состоит из сторон, поэтому периметр равен сумме длин всех его сторон. Например, чтобы найти периметр треугольника, складывают длины трёх сторон. Это понятие помогает узнать, сколько материала нужно для ограждения фигуры по краю.

Граница фигуры — линия, которая отделяет фигуру от остальной плоскости. У многоугольника она проходит по сторонам, а у фигуры с закруглением может включать кривые участки. При измерении периметра нужно двигаться по этой линии, не заходя внутрь и не срезая углы. Так становится ясно, какую именно длину требуется определить.

Единица длины — величина, с которой сравнивают измеряемую длину. Знакомые единицы — миллиметр, сантиметр, дециметр, метр и километр; например, линейкой обычно измеряют в сантиметрах и миллиметрах. Число без единицы не сообщает, какой длины получился периметр. Поэтому в ответе обязательно указывают единицу измерения.

Длина ломаной — сумма длин её звеньев, то есть отдельных отрезков, из которых она состоит. Если ломаная замкнута, её звенья образуют контур многоугольника. Значит, длину такого контура находят сложением длин всех звеньев. Это и позволяет связать периметр многоугольника с уже знакомым измерением отрезков.

Как это устроено

Чтобы измерить периметр многоугольника, измеряют длину каждой его стороны, а затем складывают результаты. Стороны идут одна за другой по границе, поэтому удобнее начать с выбранной вершины и обходить контур в одном направлении. Так проще не пропустить сторону и не посчитать её повторно. Если измеряешь линейкой, совмещай её начало с концом отрезка и внимательно считывай отметку у другого конца.

Складывать можно только длины, выраженные в одной единице: сантиметры и миллиметры обозначают разные по величине отрезки. Поэтому сначала переведи все измерения, например, в сантиметры: 35 мм = 3,5 см. После перевода 2 см + 3,5 см = 5,5 см. Перевод нужен, чтобы сумма чисел действительно соответствовала сумме длин, а не смешивала разные масштабы измерения.

У некоторых фигур стороны равны, поэтому каждую из них не обязательно измерять отдельно. Сначала измерь одну сторону из каждой группы равных сторон, а затем умножь её длину на число таких сторон или сложи её несколько раз. Например, у прямоугольника две пары равных сторон: каждая из двух измеренных длин встречается в периметре дважды. Этот способ экономит время, но подходит, только если равенство сторон известно или надёжно установлено.

Гибкую границу нельзя правильно измерить, приложив к ней линейку по прямой: линейка покажет расстояние между концами участка, а не длину самого изгиба. Вместо неё используют гибкую нить или ленту, которую укладывают точно вдоль контура. Затем отмечают начало и конец нужного участка, распрямляют нить и измеряют полученный отрезок линейкой. Для полного периметра нужно пройти так по всей границе фигуры.

Практическое измерение может быть приближённым, потому что у инструмента есть деления конечной точности, а человек может ошибиться при укладывании или считывании. Нить, например, иногда сдвигается с контура или натягивается и из-за этого меняет длину. На результат влияют также начало отсчёта и то, насколько точно видна отметка на линейке. Чтобы уменьшить погрешность, действуй аккуратно и при необходимости повтори измерение.

Способы измерения периметра

Сначала выбери строку, которая подходит твоей фигуре, и определи, какие длины нужно получить. Затем выполни указанный способ: сложи все стороны, учти равные или измерь контур нитью. Перед вычислением проверь, что длины записаны в одной единице.

Разбор задач

Прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см

У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому сторона длиной 6 см встречается дважды и сторона длиной 3 см тоже дважды. Нужно учесть все четыре стороны, а не складывать только две разные длины. Сначала запишем сумму сторон, затем вычислим её.

1. Запишем длины всех сторон: 6 см, 3 см, 6 см и 3 см.
2. Сложим их: 6 + 3 + 6 + 3 = 18 см.
3. Проверим по группам равных сторон: 2 · (6 + 3) = 18 см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 18 см.

Треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см

Треугольник имеет три стороны, и для периметра нужно учесть каждую из них. Все длины уже записаны в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется. Складываем числа и сохраняем единицу длины в результате.

1. Запишем сумму длин сторон: 4 см + 5 см + 6 см.
2. Сложим числовые значения: 4 + 5 + 6 = 15.
3. Укажем единицу измерения, в которой были даны стороны: 15 см.

Ответ: периметр треугольника равен 15 см.

Граница из отрезков разной длины

Граница состоит из четырёх отрезков: 2 см, 35 мм, 4 см и 25 мм. Нельзя сразу складывать числовые значения, потому что часть длин дана в сантиметрах, а часть — в миллиметрах. Переведём миллиметры в сантиметры: 10 мм = 1 см, значит, 35 мм = 3,5 см, а 25 мм = 2,5 см.

1. Запишем все длины в сантиметрах: 2 см, 3,5 см, 4 см и 2,5 см.
2. Сложим их: 2 + 3,5 + 4 + 2,5 = 12.
3. Поскольку все слагаемые выражены в сантиметрах, ответ будет в сантиметрах.

Ответ: периметр границы равен 12 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сложить длины, не переводя их в одну единицу. Её допускают, когда считают сантиметры и миллиметры одинаковыми единицами, хотя их числовые значения относятся к разным масштабам. Перед сложением проверь обозначения рядом с каждым числом и при необходимости выполни перевод. После этого можно сложить длины и указать общую единицу.

При обходе многоугольника можно пропустить сторону или посчитать одну сторону два раза. Такое случается, если переходить от одной стороны к другой вразнобой или потерять место, откуда начался обход. Проверяй себя: начни с вершины, двигайся по контуру в одном направлении и закончи в начальной точке. Число измеренных сторон должно совпасть с числом сторон фигуры.

Иногда периметром считают сумму длин только разных сторон. Например, у прямоугольника складывают длину и ширину, забывая, что каждая из них встречается по два раза. Причина ошибки — сосредоточиться на видах длин, а не на полном контуре. Проследи по границе, сколько раз встречается каждый отрезок, и учти каждую сторону.

Если приложить линейку к кривому участку по прямой, получится расстояние между его концами, а не длина изгиба. Так происходит потому, что жёсткая линейка не повторяет форму границы. Для проверки представь, что нить должна пройти по каждому повороту контура; измерь её и только затем распрями. Прямую линейку используй для измерения распрямлённой нити.

Связь с другими темами

Чтобы находить периметр, нужно уметь измерять отрезки линейкой и понимать отметки на её шкале. Также пригодится перевод единиц длины, например миллиметров в сантиметры или сантиметров в метры. Без этих умений измерения разных сторон нельзя правильно сложить. Поэтому полезно проверять и числа, и единицы рядом с ними.

Периметр многоугольника связан с длиной ломаной. Стороны многоугольника — это звенья замкнутой ломаной, а длина ломаной равна сумме длин звеньев. Значит, измерение периметра опирается на сложение измеренных отрезков. Замкнутость ломаной напоминает, что обход границы должен вернуться к началу.

Периметр нужен не только в задачах по математике. Его находят, когда нужно оценить длину ограждения вокруг участка, ленты по краю изделия или бордюра вдоль площадки. В таких ситуациях измеряют весь нужный контур и выбирают единицу, подходящую его размеру. Полученный результат помогает рассчитать, сколько материала потребуется.

Что запомнить

• Периметр — длина границы фигуры.
• Периметр многоугольника находят сложением длин всех его сторон.
• Перед сложением длины приводят к одной единице измерения.
• Равные стороны можно измерить один раз и учесть их количество.
• Длину криволинейной границы измеряют гибкой нитью или лентой.
• В ответе указывают единицу длины.