Название компонентов и их связь с по­нятием части и целого

Определения и обозначения

Слагаемое — число, которое складывают; сумма — результат сложения. Например, в записи 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Слагаемые можно представить как части, которые соединяют в одно целое — сумму. Эти названия помогают понять, какие числа участвуют в действии, а какое получилось.

Уменьшаемое — число, из которого вычитают; вычитаемое — число, которое вычитают; разность — результат вычитания. Если из 18 карандашей раздали 7, то 18 — уменьшаемое, 7 — вычитаемое, а оставшееся количество — разность. Разность и вычитаемое вместе составляют уменьшаемое, поэтому вычитание помогает найти одну часть, когда известно целое и другая часть.

Множители — числа, которые перемножают; произведение — результат умножения. Например, если взять 3 равные группы по 4 предмета, множители показывают число групп и количество предметов в каждой, а произведение 12 — общее количество. Так части, повторённые одинаковое число раз, составляют целое.

Делимое — число, которое делят; делитель — число, на которое делят; частное — результат деления. В записи 24 : 6 = 4 число 24 — делимое, 6 — делитель, 4 — частное. Делимое можно восстановить, умножив делитель на частное: 6 · 4 = 24, то есть целое складывается из равных групп.

Как это устроено

В записи a + b = c числа a и b называют слагаемыми, потому что именно их соединяют действием сложения. Знак «+» показывает, что количества объединяют, а не сравнивают и не разделяют. Полученное число c называют суммой: это название относится к результату действия. Поэтому важно отличать числа, с которыми выполняют действие, от того, что получается.

Модель частей и целого помогает представить сложение наглядно: две отдельные части соединяются, и получается общее количество. Если известны обе части, целое находят сложением: например, 7 + 5 = 12. Если известно целое и одна часть, неизвестную часть находят вычитанием: 12 − 7 = 5. Вычитать здесь удобно потому, что нужно убрать известную часть из общего количества и узнать, что осталось.

Вычитание связано со сложением, потому что уменьшенное количество можно разложить на то, что убрали, и то, что осталось. В записи 18 − 7 = 11 число 18 — целое, а 7 и 11 — его части. Когда целое и одна часть известны, другая находится вычитанием: 18 − 7 = 11. Связь можно проверить обратным действием: 11 + 7 = 18.

Умножение удобно, когда складывают несколько равных частей. Например, 4 + 4 + 4 можно записать короче: 3 · 4 = 12; здесь 3 показывает число групп, а 4 — количество в каждой группе. Множители описывают, как устроены равные части, а произведение показывает их общее количество. Поэтому множители соответствуют частям или способу их группировки, а произведение — целому.

Деление обращает умножение: оно помогает по общему количеству и известному числу групп найти размер каждой группы, или наоборот. Если 24 предмета распределили поровну в 6 групп, то в каждой будет 24 : 6 = 4 предмета. Здесь делимое — целое количество, а делитель и частное описывают его равные группы. Проверка умножением показывает, что 6 · 4 = 24.

Названия компонентов арифметических действий и связь частей с целым

Сначала найдите в строке название действия, затем посмотрите, как называются числа до знака равенства и результат. Столбцы о целом и частях помогают понять смысл задачи, а не только выучить термины. При умножении и делении количество групп и размер группы зависят от того, что именно известно в задаче.

Разбор задач

Задача 1. В записи 7 + 5 = 12 назовите компоненты и результат; укажите, что здесь части, а что целое. Нужно определить роль каждого числа по знаку действия. Сложение объединяет два количества, поэтому сначала называем числа, которые складывают, а затем результат.

1. Числа 7 и 5 стоят перед знаком равенства и соединены сложением, значит, это слагаемые.
2. Число 12 получилось после сложения, поэтому это сумма.
3. Слагаемые 7 и 5 — части, а сумма 12 — целое: 7 + 5 = 12.

Ответ: слагаемые — 7 и 5, сумма — 12; части — 7 и 5, целое — 12.

Задача 2. В коробке было 18 карандашей, 7 раздали. Сколько карандашей осталось? Здесь известны первоначальное целое и одна из его частей — количество раздали. Чтобы узнать другую часть, выбираем вычитание: из всего количества убираем раздали.

1. Обозначим число карандашей вначале: 18 — уменьшаемое, потому что из него вычитают.
2. Число 7 — вычитаемое, оно показывает, сколько карандашей раздали.
3. Выполним вычисление: 18 − 7 = 11. Число 11 — разность, то есть количество оставшихся карандашей.
4. Проверим связь частей и целого: 11 + 7 = 18.

Ответ: осталось 11 карандашей; уменьшаемое — 18, вычитаемое — 7, разность — 11.

Задача 3. 24 конфеты разложили поровну в 6 пакетов. Сколько конфет в каждом пакете? Общее число конфет известно, как и число равных групп, поэтому делением находим количество в одной группе. Затем проверим, что найденное число конфет действительно даёт исходное количество.

1. Запишем действие: 24 : 6 = 4. Здесь 24 — делимое, 6 — делитель, а 4 — частное.
2. Число 24 обозначает целое количество конфет; делитель 6 задаёт число пакетов, а частное 4 — конфеты в одном пакете.
3. Обратное умножение: 6 · 4 = 24. В этой записи 6 и 4 — множители, 24 — произведение.

Ответ: в каждом пакете 4 конфеты; деление проверяется умножением 6 · 4 = 24.

Типичные ошибки

Иногда сумму называют слагаемым. Так происходит, когда путают компоненты действия с результатом: в записи 3 + 4 = 7 слагаемые — 3 и 4, а 7 — сумма. Чтобы проверить себя, спросите: какие числа складывали и какое число получилось? Ответ на первый вопрос называет слагаемые, на второй — сумму.

При вычитании можно ошибочно считать уменьшаемым то, что вычитают. Название запоминают без связи со смыслом: уменьшаемое — исходное количество, а вычитаемое — убираемая часть. Например, в 18 − 7 число 18 — уменьшаемое, а 7 — вычитаемое. Проверка: разность и вычитаемое должны в сумме дать уменьшаемое.

Делимое и делитель иногда меняют местами, потому что оба числа стоят в записи деления. Но делимое — количество, которое распределяют или делят, а делитель показывает, на что делят: например, число групп. Проверяйте смысл по условию и подставляйте числа в обратное действие. Частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.

Произведение ошибочно принимают за один из множителей. Это путает результат умножения с числами, из которых его получают: в 3 · 4 = 12 множители — 3 и 4, произведение — 12. Чтобы убедиться, задайте себе два вопроса: какие числа перемножают и что получилось? Результат должен соответствовать общему количеству предметов во всех равных группах.

Связь с другими темами

Для работы с компонентами нужно понимать смысл сложения, вычитания, умножения и деления и уметь читать записи этих действий. Такая связь помогает решать текстовые задачи: по условию можно определить, где целое, а где его части. Обратные действия пригодятся для проверки вычислений и поиска неизвестных компонентов. Те же названия встречаются дальше при изучении равенств и действий с дробями.

Что запомнить

• Результат сложения называется суммой, числа при сложении — слагаемыми.
• Сумма объединяет слагаемые как части в целое.
• Уменьшаемое − вычитаемое = разность.
• Разность и вычитаемое вместе дают уменьшаемое.
• Результат умножения называется произведением, перемножаемые числа — множителями.
• Делимое : делитель = частное; делимое равно произведению делителя и частного.