"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Вычислительные приёмы помогают находить короткий путь к ответу: вместо действий по порядку мы замечаем удобные пары чисел, общий множитель или близость числа к круглому. Для этого используют свойства сложения и умножения, распределительное свойство и формулу разности квадратов. Такие преобразования не меняют значение выражения, но делают вычисление проще. Главное — увидеть подходящую связь и проверить, что она действительно помогает.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вычислительный приём — способ упростить вычисление, заметив удобную группировку или преобразование чисел. Например, вместо сложения по порядку можно сначала найти пару с суммой 100. Такой приём нужен, чтобы считать быстрее и уменьшать вероятность ошибки.
Распределительное свойство умножения — правило a(b + c) = ab + ac и a(b − c) = ab − ac. Оно означает, что внешний множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. Свойство помогает раскрывать скобки, выносить общий множитель и заменять трудное вычисление несколькими более удобными.
Сочетательное свойство сложения и умножения позволяет менять группировку слагаемых или множителей, не меняя результата. Например, сумму 12 + 8 + 5 можно записать как (12 + 8) + 5. Это нужно, чтобы сначала выполнить ту часть вычисления, которая получается проще.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², которое можно заменить произведением (a − b)(a + b). Формула позволяет вместо вычитания больших квадратов выполнить умножение меньших чисел. Она полезна, когда разность чисел небольшая, а их сумма вычисляется легко.
«Секрет» примера часто в том, что числа связаны между собой, хотя при записи это не сразу заметно. Одни числа близки к круглому числу, другие складываются в круглую сумму, а у третьих есть общий множитель. Если начать считать по порядку, такая связь может остаться незамеченной, поэтому сначала полезно осмотреть всё выражение.
Перестановка и перегруппировка помогают потому, что свойства сложения и умножения сохраняют результат при таких изменениях. Можно собрать слагаемые, сумма которых равна 10, 100 или другому удобному числу, либо сгруппировать множители, дающие простое произведение. Например, в 37 + 48 + 63 удобно сначала сложить 37 и 63. Нельзя так же свободно менять порядок действий, если в выражении есть вычитание или деление.
Число иногда удобно разложить на слагаемые или множители, а затем воспользоваться распределительным свойством. Например, 6 · 17 можно представить как 6 · (10 + 7), то есть 6 · 10 + 6 · 7. При обратном переходе общий множитель выносят за скобки: 6 · 10 + 6 · 7 = 6 · (10 + 7). Преобразование помогает, когда новые действия легче исходного умножения.
Если множитель почти круглый, его можно представить суммой или разностью круглого числа и небольшой поправки. Так, 99 = 100 − 1, поэтому 48 · 99 = 48 · (100 − 1) = 4800 − 48. Такой ход удобен и для чисел 9, 101 и других множителей, близких к десяткам, сотням или тысячам. Поправку нельзя забывать: именно она отличает исходный множитель от круглого.
Разность квадратов узнают по виду a² − b²: оба выражения должны быть квадратами, и между ними должно стоять вычитание. После замены на (a − b)(a + b) часто обнаруживается маленькая разность и удобная сумма. Результат можно проверить, раскрыв скобки по распределительному свойству, или сравнить с вычислением исходного выражения. Если исходная запись не соответствует формуле, применять её нельзя.
| Что заметить | Преобразование | Почему оно допустимо | Когда удобно |
|---|---|---|---|
| Слагаемые дают круглое число | Перегруппировать слагаемые | Сочетательное и переместительное свойства сложения | При сложении нескольких чисел |
| Множитель близок к круглому числу | Заменить его суммой или разностью, например 99 = 100 − 1 | Распределительное свойство умножения | При умножении на 9, 99, 101 и подобные числа |
| У множителей есть общий множитель или удобная сумма | Вынести общий множитель или перегруппировать множители | Распределительное и сочетательное свойства | При вычислении произведений и выражений со скобками |
| Вычитаются квадраты чисел | Применить a² − b² = (a − b)(a + b) | Формула разности квадратов | Когда произведение новых множителей проще исходного выражения |
Сначала найди в выражении признак из первого столбца, затем выбери соответствующее преобразование. Последние два столбца подсказывают, почему оно законно и в каких случаях обычно удобно. Если получившееся вычисление не стало проще, попробуй другой приём.
Задача 1. Вычислите 37 + 48 + 63. Здесь среди слагаемых есть 37 и 63, которые дополняют друг друга до круглой сотни. Поэтому сначала объединим их, а потом прибавим оставшееся число.
Ответ: 148. Перегруппировка допустима, потому что слагаемые можно менять местами и объединять по-разному. Если сложить числа по порядку, получится тот же ответ, но больше промежуточных действий.
Задача 2. Вычислите 48 · 25. Здесь удобно заметить, что 25 — это четверть от 100, а 48 делится на 4. Можно перегруппировать множители так, чтобы сначала получить простое частное, а затем умножить его на круглое число.
Ответ: 1200. Деление 48 на 4 выполняется без остатка, поэтому такой путь особенно удобен. Проверить результат можно иначе: 48 · 25 = 4 · 12 · 25 = 12 · 100 = 1200.
Задача 3. Вычислите 1002² − 998². Оба числа возведены в квадрат, а между квадратами стоит минус, значит, подходит формула разности квадратов. При её применении особенно важно заметить, что разность исходных чисел мала.
Ответ: 8000. Вместо вычисления двух больших квадратов мы получили произведение небольших чисел. Проверка раскрытием скобок подтверждает преобразование: (a − b)(a + b) = a² − b².
Меняют порядок действий вместо перегруппировки. Свойства позволяют переставлять и группировать слагаемые или множители, но не дают права произвольно менять порядок действий с вычитанием и делением. Ошибка возникает, когда свойства сложения и умножения переносят на любое выражение. Проверь себя, раскрыв скобки или подставив числа в исходную запись и в преобразованную.
Забывают умножить на внешний множитель каждое слагаемое. Например, a(b + c) — это ab + ac, а не ab + c. Так ошибаются, выполняя раскрытие скобок слишком быстро. Для проверки умножь внешний множитель отдельно на каждый член внутри скобок.
Применяют разность квадратов не к тому выражению. Формула a² − b² не означает, что любое вычитание можно записать как произведение суммы и разности. Её путают с квадратом разности, у которого другая запись: (a − b)². Проверь, что вычитаются именно два квадрата, и не смешивай выражения a² − b² и (a − b)².
Выбирают слишком сложный приём и не проверяют результат. Преобразование может быть верным, но добавить лишние вычисления вместо упрощения. Такое случается, если применять знакомую формулу, не оценив, станет ли счёт легче. Сравни число и сложность действий до и после преобразования, а затем проверь ответ обратным действием или исходным способом.
Для таких вычислений нужно знать свойства сложения и умножения, порядок действий и правила раскрытия скобок. Они объясняют, какие преобразования сохраняют значение выражения, а какие меняют его. Если эти правила знакомы, вычислительные приёмы становятся применением уже изученных свойств.
Умение замечать удобные преобразования пригодится при устных вычислениях, работе с числовыми и буквенными выражениями, а также при решении уравнений. В буквенных выражениях те же свойства помогают упростить запись, а в уравнениях — выполнять равносильные преобразования. Поэтому важно не просто запомнить формулы, но и понимать, когда их можно применить.
Как понять, в чём «секрет» примера?
Посмотри, есть ли числа, которые удобно сложить до круглого числа, общий множитель или множитель рядом с 10, 100, 1000. Затем выбери преобразование, которое сохраняет значение выражения и сокращает вычисления.
Можно ли менять местами числа в любом выражении?
Нет. Слагаемые можно переставлять при сложении, а множители — при умножении. Но нельзя произвольно переставлять числа в выражениях с вычитанием и делением.
Как выбрать удобную группировку?
Сгруппируй те слагаемые или множители, которые дают круглое число или простое произведение. Если после группировки вычислений не становится меньше или проще, попробуй другой вариант.
Когда можно применить разность квадратов?
Формулу a² − b² = (a − b)(a + b) применяют, когда вычитаются квадраты двух чисел. Убедись, что оба слагаемых действительно являются квадратами, а между ними стоит знак минус.
Как проверить вычисление после преобразования?
Проверь раскрытием скобок, обратным действием или повторным вычислением исходного выражения другим способом. Для больших чисел можно прикинуть, каким примерно должен быть результат, и сравнить с ответом.
Решение задач Примеры с «секретами»
