З Затейные задачи

Определения и обозначения

Затейная задача — нестандартная задача, в которой ответ находят не прямым применением известной формулы, а поиском скрытой закономерности или специального приёма. В ней часто требуется заметить связь между объектами или изменить способ рассуждения. Это определение помогает не начинать вычисления вслепую.

Стратегия решения — общий замысел, определяющий, какие действия и в каком порядке приведут к ответу. Например, можно сначала нарисовать схему, затем составить таблицу и только после этого проверить варианты. Стратегия нужна, чтобы рассуждение было коротким и не потеряло важные случаи.

Инвариант — величина или свойство, которое не изменяется при разрешённых действиях. Им может быть чётность числа, цвет клетки или разность двух величин. Инвариант особенно полезен, когда нужно доказать невозможность результата.

Перебор вариантов — последовательная проверка всех возможных случаев с исключением невозможных. Перебирать нужно не случайно, а по заранее выбранному признаку: например, от меньшего числа к большему. Такой порядок позволяет не повторять случаи и не пропускать подходящие.

Как это устроено

Сначала нужно понять условие: что дано, что разрешено делать и что требуется найти или доказать. Ограничения важны не меньше самих чисел, потому что именно они определяют допустимые ходы. Если начать действовать до выяснения цели, можно получить красивую последовательность действий, которая не отвечает на вопрос задачи.

Скрытую закономерность часто ищут по первым простым случаям. Составьте несколько значений или состояний, сравните их и отметьте, что повторяется: разность, чётность, порядок или способ изменения. Полученное правило является гипотезой, поэтому его нужно проверить на новых случаях и затем объяснить, почему оно действует всегда.

Инвариант помогает, когда непосредственный перебор становится слишком большим. Если после каждого разрешённого действия характеристика сохраняется, то она должна совпадать в начальном и конечном состояниях. Если требуемый результат имеет другое значение этой характеристики, он невозможен, даже если невозможно перечислить все пути к нему.

Приём выбирают по строению условия. Рисунок удобен для перемещений и расположения предметов, таблица — для небольшого числа вариантов, организованный перебор — для конечного набора случаев, а рассуждение от противного — для проверки предположения о существовании решения. Симметрия позволяет заменить несколько одинаковых случаев одним, потому что они устроены одинаково.

После получения ответа его нужно проверить по исходному условию. Следует убедиться, что выполнено каждое ограничение и что найденный способ действительно приводит к требуемому результату. Если использовался перебор, объясните, почему он полный, а если найден инвариант — почему он сохраняется после каждого разрешённого действия.

Приёмы решения затейных задач

Сначала найдите в условии признак, который подсказывает подходящий приём. Затем оформите не только результат, но и связь между шагами рассуждения. Если один способ оказался неудобным, можно заменить его схемой, таблицей или доказательством через инвариант.

Разбор задач

Числа на доске

На доске записаны числа от 1 до 10. За ход два числа заменяют их разностью, и нужно узнать, можно ли получить 0.

1. Выберем числа 2 и 3 и заменим их разностью: 3 − 2 = 1. На доске уже было другое число 1, поэтому теперь есть две единицы.
2. Заменим эти две единицы их разностью: 1 − 1 = 0. Все действия разрешены условием, поэтому полученная последовательность подходит.

Ответ: да, можно получить 0. В этой задаче важнее заметить, что после первого хода появляются два одинаковых числа, чем пытаться выполнять случайные действия.

Переливания сосудов

Есть сосуды вместимостью 8 л, 5 л и 3 л, причём восьмилитровый сосуд полон. Нужно получить ровно 4 л, переливая воду только до заполнения или опустошения сосуда.

1. Запишем состояния в порядке 8-, 5- и 3-литрового сосудов: (8, 0, 0) → (3, 5, 0) → (3, 2, 3).
2. Перельём воду из трёхлитрового сосуда в восьмилитровый: получим (6, 2, 0), затем из пятилитрового в трёхлитровый: (6, 0, 2).
3. Перельём из восьмилитрового в пятилитровый: (1, 5, 2), а затем из пятилитрового в трёхлитровый до заполнения: (1, 4, 3).

Ответ: в пятилитровом сосуде получено 4 л. Таблица состояний показывает, что ни один шаг не нарушает условие переливания.

Домино на шахматной доске

На шахматной доске удалены два противоположных угла. Нужно понять, можно ли покрыть оставшиеся клетки доминошками 1 × 2 без наложений и пропусков.

1. Раскрасим доску в белый и чёрный цвета. Противоположные угловые клетки имеют один цвет, поэтому после их удаления останется 30 клеток одного цвета и 32 другого.
2. Каждая доминошка занимает две соседние клетки, а соседние клетки на шахматной доске всегда разного цвета.
3. Значит, каждая доминошка покрывает ровно одну белую и одну чёрную клетку. Для полного покрытия число клеток обоих цветов должно быть одинаковым, но это не так.

Ответ: покрыть доску невозможно. Разность числа клеток является инвариантом: доминошки не могут изменить равенство цветов.

Типичные ошибки

Начинают выполнять случайные действия, не выделив цель и ограничения задачи. Так появляется длинный путь, но не доказательство результата. Проверьте себя вопросами: что требуется получить, какие действия разрешены и почему выбранный шаг приближает к цели.

Перебирают варианты бессистемно, повторяя одни случаи и пропуская другие. Ошибка возникает, когда порядок проверки не задан заранее. Составьте список признаков или таблицу и отметьте каждый рассмотренный случай.

Проверяют несколько примеров и принимают закономерность за доказательство. Примеры нужны для гипотезы, но не исключают особый следующий случай. Проверьте, можете ли вы объяснить правило для любого случая, а не только для записанных чисел.

Используют инвариант, который на самом деле меняется при разрешённом действии. Такое свойство может казаться постоянным лишь в первых примерах. Для самопроверки отдельно проследите его изменение после каждого типа хода.

Связь с другими темами

До этой темы нужны арифметические действия, умение составлять таблицы и схемы, сравнивать варианты и рассуждать от противного. Эти навыки помогают переводить условие из слов в понятную последовательность действий. Чем точнее записаны состояния, тем легче увидеть решение.

Затейные задачи встречаются в олимпиадах, логических головоломках, задачах на переливания, взвешивания, переправы и разбиения. В каждой из них требуется не столько много считать, сколько правильно организовать поиск. Поэтому освоенные приёмы переносятся на разные сюжеты.

В комбинаторике и теории вероятностей организованный перебор помогает считать все возможные случаи без пропусков и повторов. Таблицы и симметрия сокращают объём такой работы. Инварианты также используются для доказательства невозможности отдельных конфигураций.

Что запомнить

• Сначала понять условие и ограничения, затем выбирать приём.
• Рисунок или таблица помогают увидеть структуру задачи.
• Перебор должен быть полным и организованным.
• Гипотеза, найденная по примерам, требует доказательства.
• Инвариант не меняется при каждом разрешённом действии.
• Для доказательства невозможности часто сравнивают начальное и требуемое конечное состояние.
• Ответ нужно проверить по всем условиям задачи.