"Математика, изд. «ВИТА-ПРЕСС»", Александрова Э.И.
Затейная задача отличается необычным условием или неожиданным способом решения, но её можно разобрать без догадок наугад. Сначала нужно выяснить, что известно и что требуется найти, затем выбрать подходящий приём: переформулировать условие, найти закономерность, перебрать варианты или рассуждать от противного. Каждый шаг опирается на условие, а найденный ответ проверяется по всем его требованиям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Затейная задача — задача с необычным условием или способом решения, где требуется внимательный анализ, а не только прямое применение известного правила. Необычность не означает, что нужно угадывать: ответ строят из данных задачи. Это понятие помогает не торопиться с вычислениями и сначала разобраться, как устроено условие.
Перебор вариантов — последовательная проверка возможных случаев, при которой не пропускают ни одного подходящего варианта. Например, при составлении чисел можно сначала рассмотреть все случаи с одной первой цифрой, а затем перейти к следующей. Такой порядок нужен, чтобы получить полный список и не считать один вариант дважды.
Закономерность — правило, по которому связаны числа, действия или события в условии задачи. Если каждое следующее число увеличивается на одно и то же значение, это может быть частью правила, но её нужно проверить на всех данных. Поиск закономерности помогает увидеть общий порядок вместо того, чтобы разбирать каждый элемент отдельно.
Логическое рассуждение — последовательный вывод, в котором каждый шаг опирается на условие или уже установленный факт. Если вывод не следует из предыдущих сведений, в решении появляется необоснованное предположение. Логическое рассуждение позволяет объяснить, почему ответ подходит, а другие варианты исключаются.
Необычная формулировка может отвлечь от главного, но не отменяет точности условия. В нём могут быть ограничения, которые меняют ответ: например, цифры запрещено повторять или предметы должны распределяться по одному виду. Поэтому сначала нужно отделить известные данные от вопроса и заметить каждое ограничение. Тогда способ решения будет учитывать всю задачу, а не только броскую деталь.
Если условие кажется запутанным, переформулируй его своими словами. Скажи отдельно, что уже известно, что нельзя делать и что требуется выяснить. Так легче заметить, какие сведения относятся к вопросу, а какие только описывают ситуацию. Краткий пересказ также помогает обнаружить противоречие или пропущенное ограничение до начала вычислений.
В числовых рядах и других последовательностях попробуй сравнить соседние элементы: найти разность, заметить повторяющийся порядок действий или чередование. Затем сформулируй догадку как правило и проверь, объясняет ли она каждый элемент. Причина такой проверки проста: одни и те же первые числа могут продолжаться по разным правилам. Если условие не ограничивает варианты, может существовать несколько возможных продолжений.
При переборе заранее выбери порядок и придерживайся его. Например, если составляются числа, сгруппируй их по первой цифре и внутри каждой группы меняй вторую. После этого проверь, что рассмотрены все разрешённые цифры, а повторяющиеся цифры не использованы вопреки условию. Организованный порядок нужен, чтобы увидеть момент, когда случаи закончились, и не пропустить ни одного.
Найденный ответ следует проверить подстановкой или прямым сравнением с условием. Убедись, что он удовлетворяет каждому ограничению, а не только отвечает на вопрос в общих словах. Затем объясни, почему выбранный вариант подходит и, если нужно, почему остальные невозможны. Такая проверка превращает догадку в обоснованное решение.
Таблица помогает соотнести приём с ситуацией и сразу увидеть, как проверить результат. Сначала найди подходящее описание задачи, затем выполни указанные действия и не пропускай проверку. Для одного условия иногда подходят несколько приёмов, поэтому можно сравнить их и выбрать более понятный.
| Приём | Когда применять | Что делать | Как проверить результат |
|---|---|---|---|
| Переформулирование условия | Условие запутано или содержит много деталей | Своими словами отделить известное, ограничения и вопрос | Сверить пересказ со всеми данными исходного условия |
| Поиск закономерности | Даны числа или события, связанные общим порядком | Сравнить элементы и сформулировать предполагаемое правило | Проверить правило на каждом данном элементе |
| Перебор вариантов | Число возможных случаев невелико и их можно перечислить | Выбрать порядок и последовательно записать все случаи | Убедиться, что нет пропусков и повторов |
| Рассуждение от противного | Нужно исключить невозможный вариант или проверить утверждение | Временно предположить обратное и проследить последствия | Найти противоречие с условием или установить, что его нет |
| Проверка ответа | Ответ уже найден любым способом | Подставить его в условие и проверить каждое ограничение | Убедиться, что все требования выполнены |
Условие. В ряду записаны числа 2, 5, 8, 11. Какое число может быть следующим и какое правило это объясняет? Нужно предложить правило, согласованное с данными ряда. Слова «может быть» позволяют указать один подходящий вариант, не утверждая, что другого правила быть не может.
Ответ: следующим может быть 14, если правило ряда — каждый раз прибавлять 3. Проверка показывает, что это правило согласуется со всеми данными числами. Одни первые элементы не всегда задают единственное продолжение, поэтому ответ сформулирован как возможный.
Условие. Из цифр 1, 2 и 3 составляют двузначные числа без повторения цифр. Требуется узнать, сколько таких чисел получится. Чтобы ничего не пропустить, будем перечислять числа группами по первой цифре.
Ответ: можно составить 6 чисел. Перечень содержит два числа для каждой из трёх первых цифр, поэтому ни один допустимый случай не потерян. Повторов нет, так как в каждом числе цифры различаются.
Условие. Есть три закрытые коробки с надписями «яблоки», «груши» и «яблоки и груши», причём все надписи неверны. Нужно одним фруктом из одной коробки определить содержимое всех коробок. Начнём с коробки «яблоки и груши»: раз все надписи неверны, смешанных фруктов в ней быть не может.
Ответ: нужно вынуть фрукт из коробки с надписью «яблоки и груши», а затем распределить оставшиеся содержимое с учётом того, что ни одна надпись не верна. Для случая с яблоком получаем: в первой коробке яблоки, в коробке «яблоки» — груши, в коробке «груши» — смесь. Для вынутой груши распределение симметрично меняется.
Начинать вычисления, не разобрав условие, — значит рисковать ответить на другой вопрос. Так поступают, когда необычная формулировка подталкивает сразу применить знакомое действие, но ограничение остаётся незамеченным. Перед решением назови данные, вопрос и запреты, а после вычислений проверь, что учёл их все.
Бессистемный перебор часто приводит к пропущенным случаям или повторам. Это происходит, если каждый раз менять порядок проверки и не отмечать уже рассмотренные варианты. Разбей случаи на группы, перечисляй их в одном порядке и проверь, что каждая группа завершена.
Замеченную закономерность легко принять за доказанную, потому что первые совпадения выглядят убедительно. Но короткий ряд может подходить нескольким правилам, особенно если условие не говорит, как именно его продолжать. Проверь догадку на всех известных элементах и не называй её единственно возможной, если данных для этого недостаточно.
Остановиться после получения ответа — значит не проверить, подходит ли он условию целиком. Ошибку допускают, когда вычисление кажется завершённым и дополнительные шаги воспринимаются как лишние. Подставь ответ в исходное условие, проверь все ограничения и словами объясни, почему результат подходит.
Для затейных задач полезны навыки арифметических действий и внимательного чтения условия. Нужно также уметь последовательно объяснять ход рассуждений: так проще заметить пропуск или вывод, который не следует из данных. Эти умения помогают решать задачи, даже если знакомая формула не подсказывает готовый путь.
Те же приёмы встречаются в текстовых, логических задачах и заданиях на закономерности в других разделах математики. Перебор помогает перечислить допустимые случаи, а проверка — отделить подходящий ответ от случайного совпадения. Навык обосновывать каждый шаг пригодится и при решении более сложных задач.
Что отличает затейную задачу от обычной?
В ней условие или путь к ответу могут быть необычными, поэтому не всегда достаточно сразу применить знакомое правило. Нужно внимательно выделить данные, ограничения и вопрос, а затем выбрать способ рассуждения.
Что делать, если непонятно, с чего начать?
Перескажи условие своими словами и отдельно запиши, что известно и что требуется найти. Затем подумай, можно ли найти закономерность, перебрать небольшое число случаев или исключить невозможные варианты.
Как не пропустить варианты при переборе?
Выбери постоянный порядок: например, сгруппируй числа по первой цифре и перечисляй остальные цифры внутри каждой группы. Отмечай уже проверенные случаи и следи, чтобы один вариант не попал в список дважды.
Как убедиться, что найденная закономерность верна?
Проверь, объясняет ли предполагаемое правило все данные из условия, а не только соседнюю пару или несколько первых примеров. Если возможно несколько правил, не объявляй одно из них единственным без дополнительных условий.
Почему ответ нужно проверять по условию?
При рассуждениях можно пропустить ограничение или получить значение, которое подходит лишь части условия. Подстановка ответа и проверка каждого требования помогают заметить такую ошибку и обосновать результат.
З Затейные задачи
