Умножение числа на разность

Определения и обозначения

Разность — результат вычитания одного числа из другого. В записи a − b число a называют уменьшаемым, а b — вычитаемым. Это различие помогает правильно понимать, какой член стоит первым, а какой вычитается.

Умножение числа на разность — это умножение числа на выражение со скобками, например a(b − c). Внутри скобок записана разность b − c, а число a является множителем. Такое обозначение нужно, чтобы преобразовывать выражение и не вычислять разность в первую очередь.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания записывают так: a(b − c) = ab − ac. Оно показывает, что общий множитель умножается отдельно на уменьшаемое и вычитаемое. Благодаря этому правилу можно раскрывать скобки.

Вынесение общего множителя за скобки — обратное преобразование ab − ac = a(b − c). Общий множитель находят в каждом члене выражения и записывают перед скобками. Этот приём помогает заменить два произведения одним и упростить вычисления.

Как это устроено

Произведение числа на разность можно представить как разность двух произведений, потому что разность уже означает вычитание одного числа из другого. Если сначала найти b − c, а затем умножить результат на a, получится a · (b − c). То же действие можно выполнить по частям: найти a · b и вычесть из него a · c.

Правило a(b − c) = ab − ac опирается на смысл разности и распределительное свойство умножения относительно сложения. Разность b − c можно представить как сумму b + (−c). Тогда a(b − c) = a(b + (−c)) = ab + a(−c), а произведение a(−c) равно −ac. Поэтому получается ab − ac.

Множитель может стоять и перед скобками, и после них. В записи a(b − c) действует правило a(b − c) = ab − ac, а в записи (b − c)a можно переставить множители и получить a(b − c). Значит, результатом будет ba − ca, что равно ab − ac благодаря переместительному свойству умножения.

При раскрытии скобок общий множитель соединяется с каждым членом разности. Знак между двумя получившимися произведениями не исчезает, потому что он показывает исходное вычитание. Например, 4(x − 3) = 4x − 12, а не 4x + 12.

Обратное преобразование используют, когда в нескольких членах выражения повторяется один и тот же множитель. В выражении ab − ac его выносят за скобки, а внутри оставляют множители, которые получаются после деления каждого члена на a. Проверка проста: нужно снова раскрыть скобки и убедиться, что исходные два произведения восстановились.

Умножение числа на разность: основные преобразования

Сначала определите, какая форма дана: произведение со скобками или два произведения без скобок. Затем умножьте общий множитель на каждый член и внимательно перенесите знак между результатами. Для обратного действия найдите множитель, повторяющийся во всех членах, и вынесите его перед скобками.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить удобным способом: 7(20 − 3). Здесь дано произведение числа на разность, поэтому не обязательно сначала находить значение в скобках. Раскрытие скобок позволяет получить два простых произведения.

1. Применяем правило: 7(20 − 3) = 7·20 − 7·3.
2. Выполняем умножение: 7·20 = 140, 7·3 = 21.
3. Находим разность: 140 − 21 = 119.

Ответ: 119.

Задача 2. Упростить выражение: 4(3x − 5) − 2x. Сначала раскрываем скобки, а затем объединяем подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью.

1. Умножаем 4 на оба члена разности: 4(3x − 5) = 12x − 20.
2. Подставляем результат: 12x − 20 − 2x.
3. Приводим подобные слагаемые: 12x − 2x = 10x.

Ответ: 10x − 20.

Задача 3. Представить в виде произведения и вычислить: 18·25 − 18·7. В обоих слагаемых повторяется множитель 18, поэтому выгодно вынести его за скобки.

1. Выносим общий множитель: 18·25 − 18·7 = 18(25 − 7).
2. Вычисляем разность в скобках: 25 − 7 = 18.
3. Перемножаем полученные числа: 18·18 = 324.

Ответ: 324. Обратное раскрытие скобок подтверждает преобразование: 18(25 − 7) = 18·25 − 18·7.

Типичные ошибки

Умножают число только на первый член скобок, например записывают a(b − c) = ab − c. Так происходит, если скобки принимают за отдельный множитель. Проверьте себя вопросом: умножен ли общий множитель на каждый член внутри скобок?

Теряют знак вычитания и получают a(b − c) = ab + ac. Обычно это происходит при смешении правил для суммы и разности. Подставьте простые числа и сравните: 2(5 − 3) = 4, а 2·5 + 2·3 = 16, значит знак выбран неверно.

При отрицательном множителе меняют знак только у одного произведения. Причина ошибки — невнимательное применение правила к обоим членам скобок. Раскройте запись по частям: −3(8 − 2) = (−3)·8 − (−3)·2 = −24 + 6.

При вынесении общего множителя за скобки забывают разделить на него каждый член или выбирают разные множители. Нужно проверить, что после раскрытия скобок вернутся оба исходных произведения. Например, 6x − 6y = 6(x − y), а не 6(x − 6y).

Связь с другими темами

Для изучения правила нужны смысл умножения, его свойства и понимание вычитания. В буквенных выражениях после раскрытия скобок часто требуется привести подобные слагаемые. Приём используется в рациональных вычислениях, решении уравнений и разложении выражений на множители.

Что запомнить

• Число, умноженное на разность, равно разности произведений этого числа на уменьшаемое и вычитаемое.
• a(b − c) = ab − ac.
• При раскрытии скобок множитель умножается на каждый член внутри скобок.
• Знак вычитания между произведениями сохраняется.
• Вынесение общего множителя за скобки является обратным действием к раскрытию скобок.
• Результат можно проверить, вычислив выражение до и после преобразования.