Соотношение единиц длины

Определения и обозначения

Единица длины — принятая мера, с которой сравнивают длину предмета или расстояния. Например, линейкой измеряют отрезок в сантиметрах, а путь между населёнными пунктами — в километрах. Единица нужна, чтобы результат измерения можно было записать и сравнить с другими длинами. Без общей меры слова «длиннее» или «короче» не дали бы точного числового результата.

Миллиметр (мм), сантиметр (см) и дециметр (дм) — единицы длины, связанные равенствами 10 мм = 1 см и 10 см = 1 дм. Миллиметр меньше сантиметра, а сантиметр меньше дециметра. Эти единицы удобны, когда важно точно измерить небольшой предмет или часть более длинного отрезка. Знание равенств помогает заменять одну единицу другой, не изменяя саму длину.

Метр (м) — основная единица длины в изучаемой системе; 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм. Метр удобно использовать для измерения роста человека, комнаты или длины школьного коридора. Равенства показывают, сколько более мелких единиц составляют один метр. По ним можно переводить длину из метров в дециметры, сантиметры и миллиметры.

Километр (км) — крупная единица длины для измерения больших расстояний; 1 км = 1000 м. Километрами обычно выражают длину дороги или расстояние между пунктами. Такая единица позволяет записывать большие величины компактно, не используя длинный ряд цифр в метрах. Чтобы работать с километрами и метрами в одном вычислении, нужно знать их соотношение.

Как это устроено

Для измерения выбирают единицу, подходящую размеру объекта. Если измерять толщину монеты метрами, результат получится неудобным для чтения; миллиметры позволяют выразить эту небольшую длину целым числом. Для пути между городами миллиметры, наоборот, дали бы огромное число, поэтому используют километры. Выбор единицы не меняет длину, а делает её запись понятной и удобной.

Соотношение единиц получают, деля более крупную единицу на равные части. Например, метр можно разделить на 10 одинаковых частей, каждая из которых будет дециметром; каждый дециметр, в свою очередь, содержит 10 сантиметров. Так становится понятно, почему в метре 10 дециметров и 100 сантиметров: десять групп по десять сантиметров дают сто сантиметров. Подобные равенства позволяют переводить измерения без повторного измерения предмета.

При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается, потому что коротких единиц в той же длине помещается больше. Один метр — это 100 сантиметров, поэтому запись «1 м» превращается в «100 см». При переходе к более крупной единице значение уменьшается: 100 сантиметров составляют всего 1 метр. Это правило помогает выбрать действие и проверить его: ответ в миллиметрах должен быть численно больше ответа в сантиметрах для той же длины.

Чтобы выразить величину в других единицах, используют равенства и умножение или деление на 10, 100 либо 1000. Например, при переводе метров в сантиметры умножают число метров на 100, потому что в каждом метре 100 сантиметров. При переводе сантиметров в метры делят на 100, так как сантиметр в сто раз меньше метра. Если между единицами несколько переходов, можно переводить по шагам или сразу использовать известное соотношение.

Составная запись содержит части длины, выраженные разными единицами: например, 3 м 25 см. Чтобы представить её целиком в сантиметрах, сначала заменяют 3 м на 300 см, а затем прибавляют 25 см. Получается 325 см, потому что теперь обе части измерены одной и той же единицей. Для записи в метрах можно оставить 3 м и превратить 25 см в 0,25 м, получив 3,25 м.

Единицы длины и их соотношения

Чтобы перевести величину, найди в таблице нужное равенство и определи, во сколько раз отличаются единицы. При переходе к более мелким единицам умножай, а к более крупным — дели. Последний столбец показывает число единиц, равных одному метру; для километров указана соответствующая доля.

Разбор задач

Вырази 7 см в миллиметрах.

Решение. Нужно заменить сантиметры миллиметрами, поэтому сначала находим соотношение этих единиц. Один сантиметр равен 10 миллиметрам, значит, каждый из семи сантиметров содержит по 10 миллиметров. Число миллиметров будет больше числа сантиметров, поэтому выбираем умножение.

1. Запишем соотношение: 1 см = 10 мм.
2. Умножим количество сантиметров на 10: 7 · 10 = 70.
3. Укажем единицу результата: 70 мм.

Ответ: 7 см = 70 мм.

Вырази 4 м 8 см в сантиметрах.

Решение. В записи есть метры и сантиметры, а ответ требуется только в сантиметрах. Поэтому сначала переведём метры в сантиметры, а оставшиеся сантиметры оставим без изменения. После этого можно сложить обе части, поскольку они выражены одной единицей.

1. Используем равенство 1 м = 100 см.
2. Переведём метры: 4 м = 4 · 100 см = 400 см.
3. Прибавим оставшиеся 8 см: 400 см + 8 см = 408 см.

Ответ: 4 м 8 см = 408 см.

Расстояние между двумя пунктами равно 2 км 350 м. Вырази его в метрах и километрах.

Решение. Для ответа в метрах нужно перевести километры в метры, а затем прибавить уже имеющиеся метры. Для ответа в километрах удобно представить 350 м как часть километра. В обоих случаях сначала приводим части к нужной единице, чтобы запись обозначала одну и ту же длину.

1. Переведём километры: 2 км = 2 · 1000 м = 2000 м.
2. Прибавим 350 м: 2000 м + 350 м = 2350 м.
3. Так как 350 м = 0,35 км, получаем 2 км + 0,35 км = 2,35 км.

Ответ: 2350 м и 2,35 км (или 2 км 350 м).

Типичные ошибки

При переводе метров в сантиметры иногда делят на 100 вместо умножения. Так ошибаются, потому что помнят число 100, но не учитывают, в какую сторону меняется единица. В одном метре содержится 100 сантиметров, значит, 3 м — это 300 см, а не 0,03 см. Проверь себя: при переходе к меньшей единице числовое значение должно увеличиться.

При переходе к более крупной единице иногда умножают число, хотя его нужно уменьшить. Ошибка возникает, если запомнить действие, но не связать его с размером единиц. Например, 200 см — это 2 м, а не 20 000 м. Для проверки оцени, сколько крупных единиц может поместиться в исходной длине: их будет меньше, чем мелких.

Иногда считают, что 1 м = 10 см, перенося на сантиметры соотношение метра и дециметра. В действительности 1 м = 10 дм, а каждый дециметр содержит 10 см, поэтому 1 м = 100 см. Проверка по двум переходам помогает не перепутать равенства: 10 дм · 10 см в каждом дециметре дают 100 см. Полезно также сверяться с таблицей соотношений.

Ещё одна ошибка — складывать числа составной величины без перевода единиц, например считать, что 2 м 30 см = 32 см. Числа 2 и 30 относятся к разным единицам, поэтому напрямую складывать их нельзя. Сначала переведи метры в сантиметры: 2 м = 200 см, затем получи 200 см + 30 см = 230 см. Самопроверка проста: в записи суммы все слагаемые должны быть выражены в одной единице.

Связь с другими темами

Чтобы измерять длину, нужно уметь пользоваться линейкой: начинать отсчёт от нуля, читать деления шкалы и определять, где заканчивается отрезок. Для сравнения результатов пригодится умение сравнивать натуральные числа, но сначала длины нужно выразить в одинаковых единицах. Например, нельзя напрямую сравнить 2 м и 150 см по числам 2 и 150. После перевода получаем 200 см и 150 см, и сравнение становится ясным.

Соотношения единиц используются при вычислении периметра — общей длины границы фигуры, — и в задачах на расстояние. Если стороны даны в разных единицах, перед сложением их переводят к одной мере. В геометрии это помогает записывать длины отрезков и сравнивать их, а в текстовых задачах — согласовывать единицы в условии и ответе. Поэтому точный перевод величин нужен не только при измерениях.

Что запомнить

• 1 см = 10 мм.
• 1 дм = 10 см.
• 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.
• 1 км = 1000 м.
• При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается.
• При переводе составной величины сначала удобно выразить все части в одной единице.