"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Умножение и деление на 10 связаны с устройством десятичной системы счисления. Десять единиц одного разряда образуют одну единицу следующего, поэтому при умножении разрядные единицы переходят на порядок выше, а при делении — на порядок ниже. Это помогает понимать, почему в записи целого числа появляется или исчезает ноль, правильно выполнять вычисления и проверять их обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная система счисления — это способ записи чисел, в котором десять единиц каждого разряда образуют одну единицу следующего разряда. Десять единиц составляют десяток, десять десятков — сотню, десять сотен — тысячу. Понимание этого правила объясняет строение многозначных чисел и вычисления с ними.
Разрядная единица — это единица определённого разряда: единица, десяток, сотня, тысяча. Десять единиц одного вида равны одной единице следующего вида, а одна единица следующего вида равна десяти предыдущим. Так можно связывать разряды умножением или делением на 10.
Умножение числа на 10 означает увеличение числа в десять раз. Например, 6 · 10 = 60: шесть единиц превращаются в шесть десятков. Это действие переводит каждую разрядную единицу на один порядок выше.
Деление числа на 10 означает уменьшение числа в десять раз. Например, 60 : 10 = 6: шесть десятков заменяются шестью единицами. Деление возвращает разрядные единицы на один порядок ниже и является обратным умножению.
Представим предметы, разложенные по группам. Если есть 10 отдельных деталей, их удобно назвать одним набором из десятка; 10 таких наборов можно объединить в одну сотню деталей. Такое группирование не меняет количество предметов, а только делает его запись короче и понятнее. Именно поэтому в десятичной системе переход между соседними разрядами происходит после объединения десяти одинаковых единиц.
При умножении на 10 каждая часть числа становится в десять раз больше по своему разряду. В числе 34 есть 3 десятка и 4 единицы: после умножения это 3 сотни и 4 десятка, то есть 340. В записи цифры не меняются, но каждая начинает обозначать единицу более высокого порядка; свободное место единиц обозначается нулём.
Деление на 10 выполняет обратный переход. Один десяток можно заменить десятью единицами, одну сотню — десятью десятками, а одну тысячу — десятью сотнями. Поэтому при делении 560 на 10 пять сотен и шесть десятков превращаются в 5 десятков и 6 единиц, то есть получается 56.
Проверка должна учитывать и обратное действие, и размер результата. Если вычисляли умножение, разделите ответ на 10; если деление — умножьте ответ на 10. Кроме того, после умножения ответ обязан быть больше исходного в десять раз, а после деления — меньше в десять раз. Правило о перемещении цифр описывает изменение их разрядов, а не самих цифр: в 34 цифры 3 и 4 сохраняются, меняются только их значения.
| Действие | Что происходит с числом | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на 10 | Каждая разрядная единица переходит на один порядок выше; число увеличивается в 10 раз. | 34 · 10 = 340 |
| Деление на 10 | Каждая разрядная единица переходит на один порядок ниже; число уменьшается в 10 раз. | 560 : 10 = 56 |
| Связь действий как взаимно обратных | Одно действие отменяет другое. | (34 · 10) : 10 = 34 |
| Проверка результата | Нужно выполнить обратное действие и сравнить размер чисел. | 56 · 10 = 560 |
Сначала определите, какое действие выполнено, затем посмотрите, в какую сторону должны измениться разряды. Последняя строка помогает проверить вычисление: обратное действие должно вернуть исходное число. Сравнение размеров дополнительно показывает, не перепутаны ли умножение и деление.
Задача 1. Вычислим 34 · 10 и объясним результат через разрядный состав числа. Число 34 состоит из 3 десятков и 4 единиц, поэтому нужно проследить судьбу обеих разрядных единиц.
Ответ: 34 · 10 = 340.
Задача 2. Найдём 560 : 10 и проверим результат умножением. В числе 560 есть 5 сотен и 6 десятков, поэтому при делении каждая из этих единиц перейдёт на один порядок ниже.
Ответ: 560 : 10 = 56.
Задача 3. В одной из 10 одинаковых коробок находится 240 деталей. Сначала найдём общее количество, а затем разделим его поровну на 10 коробок и сравним с исходным количеством.
Ответ: всего 2400 деталей; после деления на 10 в каждой коробке будет 240 деталей.
Механически дописывают ноль при умножении. Такой приём запоминают без связи с разрядами и затем применяют к любой записи. Представьте число по разрядам и проверьте, стало ли оно в 10 раз больше.
При делении просто отбрасывают последнюю цифру. Так можно потерять значение числа, если не заметить, что последняя цифра обозначала единицы или что деление даёт дробь. Выполните обратное умножение и убедитесь, что получился исходный делительному числу результат.
Путают увеличение в 10 раз с увеличением на 10. Прибавление 10 добавляет десять единиц, а умножение меняет количество в десять раз. Сравните действия на примере: 34 + 10 = 44, но 34 · 10 = 340.
Не проверяют направление изменения. Иногда после умножения получают число меньше исходного или после деления — больше. Сразу оцените ответ: умножение должно увеличить число, деление — уменьшить его, а обратное действие должно вернуть исходное значение.
До изучения темы нужно уметь раскладывать многозначное число на разрядные слагаемые и понимать значение каждой цифры. Например, в числе 482 цифра 4 обозначает 4 сотни, а не 4 единицы. Это позволяет объяснить вычисление, а не только воспроизвести правило.
Тема опирается на смысл умножения как увеличения количества в несколько раз и деления как обратного действия. Если 5 групп по 10 предметов дают 50 предметов, то 50 предметов можно разделить на 10 равных групп и получить по 5. Такой смысл помогает проверять запись вычислений.
Связь соседних разрядов через 10 понадобится при изучении десятичных дробей и переводе единиц измерения. Она также помогает выполнять действия с многозначными числами: километрами и метрами, килограммами и граммами, рублями и копейками. Понимание разрядов делает эти переходы осмысленными.
Почему именно десять единиц образуют единицу следующего разряда?
Так устроена десятичная система счисления: для записи чисел используют десять цифр — от 0 до 9. Поэтому 10 единиц составляют 1 десяток, 10 десятков — 1 сотню, а 10 сотен — 1 тысячу.
Почему при умножении целого числа на 10 в записи появляется ноль?
Каждая разрядная единица переходит на один порядок выше: единицы становятся десятками, десятки — сотнями. Например, 34 превращается в 3 десятка и 4 единицы, то есть в 34 десятка, или 340 единиц; последняя цифра записи становится нулём.
Всегда ли при делении на 10 можно просто убрать последнюю цифру?
Для целого числа, которое делится на 10 без остатка, последнюю цифру 0 можно убрать: 560 : 10 = 56. Но в общем случае нужно учитывать разрядный состав и возможное появление десятичной дроби, например 7 : 10 = 0,7.
Как проверить, что число умножили, а не разделили на 10?
Сравните результат с исходным числом: после умножения он должен быть в 10 раз больше, а после деления — в 10 раз меньше. Затем выполните обратное действие: результат умножения разделите на 10, а результат деления умножьте на 10.
Чем умножение на 10 отличается от прибавления 10?
Прибавление 10 увеличивает число на десять единиц: 34 + 10 = 44. Умножение на 10 увеличивает количество в десять раз: 34 · 10 = 340.
Умножение и деление на 10
