"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Умножение и деление на 10 помогают быстро менять значение числа и выполнять вычисления с натуральными числами и десятичными дробями. При умножении число становится в 10 раз больше, при делении — в 10 раз меньше. Поэтому цифры переходят в соседние разряды, а у десятичной дроби запятая сдвигается на один знак: вправо при умножении и влево при делении. Главное — не путать направление и дописывать нули, если цифр не хватает.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — число, в записи которого целая и дробная части разделены запятой. Например, в числе 3,56 цифра 3 означает три целых, 5 — пять десятых, а 6 — шесть сотых. Такое прочтение помогает понять, почему при вычислениях цифры меняют свои места относительно запятой.
Разрядная единица — единица, соответствующая разряду цифры: например, единицы, десятки, десятые или сотые. Значение цифры зависит не только от неё самой, но и от её места в числе. Если перейти на один разряд вправо, значение цифры станет в 10 раз меньше: 5 единиц — это в десять раз больше, чем 5 десятых.
Умножение на 10 — действие, при котором число увеличивается в 10 раз. При этом цифры оказываются в разрядах с единицами, которые в десять раз крупнее прежних. Это правило позволяет быстро умножать и целые числа, и десятичные дроби.
Деление на 10 — действие, при котором число уменьшается в 10 раз. Цифры переходят в разряды с единицами, которые в десять раз меньше прежних. Понимание этого изменения помогает правильно записать результат и не перепутать направление сдвига запятой.
При умножении натурального числа на 10 каждая цифра переходит на один разряд влево, то есть начинает обозначать величину в десять раз большую. Например, 4 десятка превращаются в 4 сотни, а 7 единиц — в 7 десятков. Поэтому в записи справа появляется ноль: 47 · 10 = 470.
У десятичной дроби умножение на 10 записывают сдвигом запятой на один знак вправо. Например, в числе 3,56 цифра 5 обозначает десятые, а после умножения она обозначает целые; каждая цифра получает в десять раз большую разрядную единицу. Поэтому 3,56 · 10 = 35,6, а само число становится в десять раз больше.
При делении на 10 запятая сдвигается на один знак влево, потому что число уменьшается в десять раз. Цифра, стоявшая в разряде целых, после деления обозначает десятые, а десятые становятся сотыми. Так, 35,6 : 10 = 3,56; изменение разрядов показывает, почему число стало меньше.
Если запятую нужно сдвинуть, а цифр для этого не хватает, записывают нули. Например, при делении 6 на 10 сначала ставят запятую после нуля: 6 : 10 = 0,6; при вычислении 0,8 : 10 получают 0,08. Ноль перед запятой показывает, что целых нет, а ноль после запятой сохраняет место разряда сотых и не меняет значение цифры 8.
Проверить вычисление можно обратным действием. Если результат умножения разделить на 10, должно получиться исходное число; если результат деления умножить на 10, также должно получиться исходное число. Например, 3,56 · 10 = 35,6, а 35,6 : 10 = 3,56. Такая проверка помогает заметить ошибку в направлении сдвига или в записи нулей.
В таблице собраны правила для целых чисел и десятичных дробей. Сначала определите, какое действие выполняется, затем посмотрите, куда перемещается запятая или что появляется в записи. В последней строке показано, как записывать результат, когда цифр для сдвига не хватает.
| Действие | Что происходит с запятой | Пример |
|---|---|---|
| Умножение целого числа на 10 | Запятую обычно не записывают; справа добавляется ноль. | 47 · 10 = 470 |
| Умножение десятичной дроби на 10 | Сдвигается на один знак вправо. | 3,56 · 10 = 35,6 |
| Деление целого числа на 10 | Мысленно ставится после последней цифры и сдвигается на один знак влево. | 6 : 10 = 0,6 |
| Деление десятичной дроби на 10 | Сдвигается на один знак влево. | 3,56 : 10 = 0,356 |
| Случай, когда для сдвига запятой не хватает цифр | Перед числом или после запятой дописываются нули. | 0,8 : 10 = 0,08 |
Задача 1. Вычислите 47 · 10. Умножение на 10 увеличивает число в десять раз, поэтому цифры переходят в соседние разряды влево. Проверим, какое место займут десятки и единицы исходного числа.
Задача 2. Вычислите 3,56 · 10 и 3,56 : 10. Здесь нужно выполнить два обратных действия, поэтому запятая переместится в противоположные стороны. Каждый раз сдвигаем её только на один знак, так как число 10, а не 100.
Задача 3. Вычислите 0,8 : 10 и 6 : 10, затем проверьте результаты обратным действием. В первом числе после запятой есть только одна цифра, а во втором запятая при записи целого числа не показана. Поэтому при сдвиге влево понадобятся нули.
Сдвиг запятой на два знака вместо одного приводит к изменению числа в 100 раз, а не в 10. Так ошибаются, когда помнят правило о сдвиге, но не связывают число знаков с множителем. Проверьте себя: результат должен быть в десять раз больше или меньше исходного, а обратное действие должно вернуть исходное число.
При умножении запятую иногда сдвигают влево, хотя число должно увеличиться. Ошибка возникает из-за путаницы между умножением и делением. Оцените результат: если исходное число положительное, результат умножения на 10 должен быть больше; разделите его на 10 и проверьте, вернулось ли исходное число.
При делении на 10 запятую могут сдвинуть вправо, и тогда результат окажется больше исходного. Обычно это происходит, если направление переноса запятой запомнили наоборот. Проверьте, стало ли число в десять раз меньше, или умножьте полученный ответ на 10: должен получиться делитель — исходное число.
Если цифр для сдвига не хватает, отсутствие нуля делает запись неполной или меняет значение числа. Например, при делении 6 на 10 результат записывают как 0,6, а не просто ,6. Перед ответом посмотрите, хватает ли цифр по обе стороны запятой, и проверьте вычисление обратным действием.
Для умножения и деления на 10 нужно понимать разряды натуральных чисел и десятичных дробей. Если известно, что обозначают цифры в разрядах единиц, десятых и сотых, становится понятно, почему меняется положение запятой. Эти знания также помогают читать и сравнивать десятичные дроби.
Правило пригодится при вычислениях с десятичными дробями, устном счёте и переводе единиц измерения. Например, при переходе между соседними единицами, различающимися в 10 раз, нужно умножить или разделить величину на 10. Уверенное владение правилом помогает быстрее выполнять такие действия без столбика.
Почему при умножении на 10 запятая сдвигается вправо?
Умножение на 10 увеличивает значение числа в десять раз. Каждая цифра начинает обозначать единицы разряда, который в десять раз крупнее, поэтому запятая в записи перемещается на один знак вправо.
На сколько знаков сдвигать запятую при умножении на 10?
На один знак вправо. Сдвиг на два знака соответствует умножению на 100, а не на 10.
Что делать, если при делении на 10 перед запятой не хватает цифр?
Перед первой цифрой числа нужно записать ноль, а затем поставить запятую и при необходимости дописать ещё ноль. Например, 6 : 10 = 0,6. Добавленные нули в начале записи не меняют значение числа.
Нужно ли дописывать ноль при умножении целого числа на 10?
Да, в записи результата справа появляется ноль: например, 47 · 10 = 470. Это показывает, что цифры числа перешли на один разряд влево.
Как проверить деление числа на 10?
Умножьте полученный результат на 10. Если получилось исходное число, деление выполнено верно: например, 0,8 : 10 = 0,08, а 0,08 · 10 = 0,8.
2.82. Умножение и деление на 10
