"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия — это способы работать с числами: объединять их, находить разность, увеличивать число в несколько раз и делить на равные части. Сложение и умножение объединяют числа, а вычитание и деление помогают выполнять обратные действия. Для вычислений важно знать названия компонентов, свойства действий и порядок действий в выражениях со скобками. Эти правила нужны при решении примеров, уравнений и задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, которое объединяет два числа. Эти числа называют слагаемыми, а результат — суммой: 7 + 5 = 12. Смысл действия помогает находить общее количество предметов или увеличивать число.
Вычитание — действие, обратное сложению: по сумме и одному слагаемому находят другое. В записи a − b = c число a называют уменьшаемым, b — вычитаемым, c — разностью. Оно показывает, сколько осталось после уменьшения или на сколько одно число больше другого.
Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых. Числа называют множителями, а результат — произведением: 4 · 3 = 12 означает 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Такое действие удобно, когда одна и та же величина повторяется несколько раз.
Деление — действие, обратное умножению: по произведению и одному множителю находят другой. В записи a : b = c числа a и b называют делимым и делителем, а c — частным. Делить на ноль нельзя, потому что умножение любого числа на ноль даёт ноль.
Сложение связано с изменением количества: если к имеющимся предметам добавить новые, их число увеличится. Вычитание описывает удаление части или сравнение двух количеств. Поэтому эти действия взаимно проверяют друг друга: если 38 + 27 = 65, то 65 − 27 должно дать 38.
Умножение возникает, когда одинаковое количество повторяется несколько раз. Запись 5 · 4 означает пять одинаковых слагаемых по 4 и заменяет длинную сумму 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Деление связано с разбиением на равные части или с вопросом, сколько раз одно число содержится в другом, поэтому его результат проверяют умножением.
Порядок действий нужен, чтобы одно выражение имело однозначный результат. Скобки задают часть выражения, которую считают первой, даже если внутри стоят разные действия. После скобок выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что они описывают повторное взятие или распределение величины и образуют более тесную операцию. Действия одной ступени равноправны, поэтому их выполняют слева направо. Например, 24 : 3 · 2 = 8 · 2 = 16, а не 24 : 6.
| Действие | Обозначение | Как называются компоненты | Результат | Обратное действие или проверка |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b | слагаемое, слагаемое | сумма | вычитание |
| Вычитание | a − b | уменьшаемое, вычитаемое | разность | сложение |
| Умножение | a · b | множитель, множитель | произведение | деление |
| Деление | a : b | делимое, делитель | частное | умножение |
Таблица помогает быстро определить, как называется каждое число и результат действия. Чтобы проверить вычисление, используют действие из последнего столбца. Для деления дополнительно убеждаются, что делитель не равен нулю.
Нужно вычислить 38 + 27 и проверить ответ. Сначала складываем единицы, затем десятки, учитывая переход через десяток. После этого используем обратное действие.
Ответ: 65.
Вычислим 6 · (14 − 9) + 18 : 3. Скобки нельзя пропустить, поскольку они меняют порядок вычислений. Затем выполняем действия одной ступени и только после этого складываем результаты.
Ответ: 36.
Рассмотрим 125 · 16 − 125 · 6. В обоих произведениях есть общий множитель 125, поэтому его можно вынести за скобки. Такой способ сокращает вычисления и показывает применение распределительного свойства.
Ответ: 1250.
Ошибка — считать выражение строго слева направо и выполнять сложение раньше умножения. Так допускают из-за привычки читать запись по порядку, но правила задают ступени действий. Проверьте себя: сначала выделите скобки, затем умножение и деление.
Ошибка — забыть о скобках и начать с действия вне них. Скобки нужны именно для того, чтобы изменить обычную последовательность вычислений. Полезно сначала переписать или мысленно выделить выражение внутри скобок.
Ошибка — поменять местами уменьшаемое и вычитаемое или делимое и делитель. Эти действия не являются переместительными: 10 − 3 и 3 − 10, 12 : 4 и 4 : 12 имеют разные значения. Проверяйте смысл записи и названия компонентов.
Ошибка — считать деление на ноль допустимым. Частного a : 0 не существует при a ≠ 0, поскольку 0 умножить на любое число невозможно получить ненулевое a. Перед делением всегда проверяйте, что делитель не равен нулю.
Для работы с арифметическими действиями нужно понимать значение натуральных, целых и дробных чисел и уметь читать числовые выражения. Без этого трудно определить, какие числа и действия записаны в примере.
Правила действий и порядок вычислений применяются при нахождении значений выражений, решении уравнений и текстовых задач. Обратные действия помогают восстанавливать неизвестные компоненты.
Свойства арифметических действий нужны для упрощения выражений. В дальнейшем те же приёмы используются при преобразовании алгебраических выражений и раскрытии скобок.
Как проверить результат сложения или вычитания?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление a : 0 означало бы поиск числа, которое при умножении на ноль даёт a. Но любое число, умноженное на ноль, даёт только ноль, поэтому при a ≠ 0 такого числа нет.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, а после этого сложение и вычитание слева направо. Если скобок нет, начинают с действий более высокой ступени.
Можно ли менять местами числа при вычитании и делении?
Нет, вычитание и деление не обладают переместительным свойством. Например, 9 − 4 не равно 4 − 9, а 12 : 3 не равно 3 : 12.
Как свойства действий помогают считать быстрее?
Переместительное и сочетательное свойства позволяют удобно переставлять и объединять слагаемые или множители. Распределительное свойство помогает раскрывать скобки и выносить общий множитель.
2.83. Арифметические действия над числами
