Числа в десятичной системе счисления (продолжение)

Определения и обозначения

Десятичная система счисления — система записи чисел, в которой используют десять цифр, а значение цифры зависит от её места. Она удобна тем, что каждый новый разряд связан с предыдущим умножением на 10. Поэтому по записи можно сразу определить состав числа.

Цифра — один из знаков 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры служат «буквами» для записи чисел, но сами по себе не всегда показывают одно и то же количество. Например, 7 может означать семь единиц, семь десятков или семь сотен.

Разряд — место цифры в записи числа; разряды считают справа налево, начиная с единиц. После единиц идут десятки, затем сотни, тысячи и другие разряды. Название разряда помогает понять, какое значение имеет стоящая в нём цифра.

Разрядная единица — число, равное единице соответствующего разряда: 1, 10, 100, 1000 и так далее. Чтобы найти значение цифры, нужно умножить её на разрядную единицу. Например, цифра 6 в разряде сотен означает 6 · 100, то есть 600.

Как это устроено

Для записи любого числа достаточно десяти цифр, потому что после девяти единиц одного разряда образуется одна единица следующего разряда. Например, десять единиц заменяются одной десяткой, а десять десятков — одной сотней. Цифра 0 нужна, чтобы показать отсутствие единиц разряда: в числе 406 нет десятков, но разряд десятков всё равно должен остаться на своём месте.

При переходе к соседнему разряду слева разрядная единица увеличивается в десять раз. В одном десятке содержится 10 единиц, в одной сотне — 10 десятков, а в одной тысяче — 10 сотен. Такая связь позволяет группировать предметы по десять и записывать большие количества коротко.

Значение цифры определяется двумя признаками: самой цифрой и её разрядом. Цифра 7 в разряде единиц означает 7, в разряде десятков — 70, а в разряде сотен — 700. Поэтому одинаковые цифры в разных местах записи могут обозначать совершенно разные количества.

Многозначное число складывается из значений всех его цифр. Для разложения каждую цифру умножают на разрядную единицу, а нулевые слагаемые обычно не записывают. Например, 583 = 5 · 100 + 8 · 10 + 3 · 1, и такая сумма точно показывает состав числа.

Разряды объединяют в классы по три разряда. Справа находится класс единиц, затем класс тысяч, потом класс миллионов; внутри каждого класса идут единицы, десятки и сотни. Такое объединение облегчает чтение больших чисел: сначала называют классы слева направо, не забывая название каждого ненулевого класса.

Разряды десятичной записи числа

Чтобы пользоваться таблицей, найдите нужный разряд и посмотрите на его разрядную единицу. Затем умножьте эту единицу на цифру, стоящую в разряде. Так можно быстро определить, сколько означает одна и та же цифра в разных местах записи.

Последний столбец показывает отдельное разрядное слагаемое. Полное число получают сложением таких слагаемых, соответствующих всем его цифрам.

Разбор задач

Задача 1. Разложить число 583 на разрядные слагаемые

Нужно определить, какое место занимает каждая цифра. В числе 583 цифра 3 стоит в разряде единиц, 8 — в разряде десятков, а 5 — в разряде сотен.

1. Запишем значение цифры 5: 5 · 100 = 500.
2. Запишем значение цифры 8: 8 · 10 = 80.
3. Запишем значение цифры 3: 3 · 1 = 3.
4. Сложим значения: 583 = 5 · 100 + 8 · 10 + 3 · 1.

Ответ: 583 = 500 + 80 + 3.

Задача 2. Записать число, в котором 4 сотни, 0 десятков и 6 единиц

Сначала расположим цифры по разрядам: сотни, десятки, единицы. В разряде сотен будет 4, в разряде десятков — 0, в разряде единиц — 6.

1. Запишем первую цифру 4, потому что есть четыре сотни.
2. Поставим 0 на месте десятков: десятков нет, но сам разряд сохраняется.
3. Запишем 6 в разряде единиц.
4. Получим запись 406, то есть 4 · 100 + 0 · 10 + 6 · 1.

Ответ: 406. Ноль показывает отсутствие десятков и не даёт цифре 6 переместиться в разряд десятков.

Задача 3. Восстановить число по записи 3 · 100 000 + 5 · 1 000 + 8 · 10 + 2

Каждое слагаемое сообщает цифру и её разряд. Между сотнями тысяч и тысячами отсутствует разряд десятков тысяч, поэтому на его месте нужно поставить 0.

1. 3 · 100 000 даёт цифру 3 в разряде сотен тысяч.
2. В разряде десятков тысяч ставим 0, так как такого слагаемого нет.
3. 5 · 1 000 даёт цифру 5 в разряде тысяч.
4. После неё записываем 8 десятков и 2 единицы.
5. Получаем число 305 082 и читаем его по классам.

Ответ: 305 082 — триста пять тысяч восемьдесят два.

Типичные ошибки

Одинаковое значение цифры. Ошибка возникает, когда считают, что 7 всегда означает семь. Проверьте разряд: 7 десятков — это 70, а 7 сотен — 700.

Пропуск нуля. Ноль иногда считают ненужным знаком и убирают его из середины записи. Сравните разряды справа налево: если место пусто, ноль обязан его сохранить.

Смешение цифры и числа. Цифра является знаком, а число может состоять из нескольких цифр и обозначать величину. Проверьте себя вопросом: называете ли вы отдельный знак или всё количество целиком?

Неверное разложение по разрядам. Так бывает, если цифру десятков записывают как единицы. Подпишите над каждой цифрой её разряд и умножьте на правильную разрядную единицу.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь считать натуральные числа и понимать, что количество предметов можно обозначить числом. Эти знания помогают увидеть, почему десять единиц объединяются в один десяток, а десять десятков — в одну сотню.

Разрядная запись нужна при сравнении многозначных чисел и вычислениях: по старшим разрядам удобно определять, какое число больше, а при сложении и вычитании разряды выравнивают. Позже тот же принцип поможет понять запись десятичных дробей.

Что запомнить

• В десятичной системе используют десять цифр: от 0 до 9.
• Каждый следующий разряд слева в десять раз больше предыдущего.
• Значение цифры определяется её местом в записи числа.
• Ноль обозначает отсутствие единиц в соответствующем разряде.
• Число можно представить как сумму значений его цифр.
• Разряды объединяют в классы, чтобы удобнее читать большие числа.