"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Многозначные числа складывают и вычитают, учитывая место каждой цифры: единицы соединяют с единицами, десятки — с десятками, сотни — с сотнями. Такой способ сохраняет значение числа и помогает выполнять письменные вычисления. Если при сложении набирается десять единиц разряда, их заменяют одной единицей следующего разряда. При вычитании, наоборот, можно обменять единицу старшего разряда на десять младших. Проверка обратным действием помогает найти ошибку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, запись которого содержит несколько цифр. Значение цифры зависит от её места: в числе 444 крайние цифры обозначают сотни и единицы, а средняя — десятки. Это помогает понять, почему одинаковые цифры могут обозначать разные величины.
Разряд — место цифры в записи числа, соответствующее единицам, десяткам, сотням, тысячам и следующим порядкам. Разряды считают справа налево, начиная с единиц. Знание разрядов нужно, чтобы складывать и вычитать величины одного порядка.
Разрядная единица — единица счёта данного разряда: единица, десяток, сотня и так далее. Десять единиц одного разряда равны одной единице соседнего старшего разряда: 10 единиц — это 1 десяток, а 10 десятков — 1 сотня. Это соотношение объясняет обмен единицами при вычислениях.
Разрядный состав числа — представление числа как суммы разрядных слагаемых. Например, 3725 = 3000 + 700 + 20 + 5. Такая запись показывает вклад каждого разряда и позволяет выполнять действия отдельно с тысячами, сотнями, десятками и единицами.
Каждое многозначное число можно разложить на разрядные слагаемые: 527 = 500 + 20 + 7. В каждом слагаемом ненулевые цифры стоят только в одном разряде, поэтому ясно, сколько в числе сотен, десятков и единиц. Это разложение помогает вычислять отдельно величины одного порядка, не смешивая их.
При сложении складывают единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями. Причина в том, что разрядные единицы одинакового порядка однородны: например, складывая 3 десятка и 4 десятка, мы получаем 7 десятков. Если соединить десятки с единицами, сумма перестанет отражать исходные числа.
Если сумма в разряде равна десяти или больше, её нужно представить разрядными единицами следующего порядка. Например, 8 единиц + 7 единиц = 15 единиц, то есть 1 десяток и 5 единиц. Пять единиц записывают в разряде единиц, а десяток добавляют к десяткам: общее значение суммы при этом сохраняется.
При вычитании из единиц одного разряда вычитают единицы того же разряда. Если их не хватает, одну единицу соседнего старшего разряда заменяют десятью единицами младшего: один десяток становится десятью единицами. Это не меняет число, а лишь иначе представляет его разрядный состав, чтобы вычитание стало возможным.
Запись столбиком помогает удерживать цифры в правильных разрядах: единицы располагаются под единицами, десятки под десятками и так далее. Вычисление по столбцам — это те же действия над разрядными слагаемыми, только записанные компактно. Проверка обратным действием полезна потому, что возвращает к исходному числу: сумму проверяют вычитанием, а разность — сложением.
Сравнивайте действия по каждой строке: таблица показывает, что правила расположения разрядов одинаково важны и для сложения, и для вычитания. При решении сначала определите разряды цифр, затем выполните действие и учтите перенос или обмен. Последняя строка подсказывает, как проверить полученный ответ.
| Что сравниваем | Сложение | Вычитание |
|---|---|---|
| Как располагают числа | Одинаковые разряды записывают один под другим. | Одинаковые разряды записывают один под другим. |
| С какого разряда начинают | Обычно с единиц, затем переходят к старшим. | Обычно с единиц, затем переходят к старшим. |
| Действие в каждом разряде | Складывают единицы одного порядка. | Из единиц разряда уменьшаемого вычитают единицы того же разряда. |
| Что делают при нехватке единиц или переполнении разряда | Десять единиц заменяют одной единицей следующего разряда. | Одну единицу старшего разряда обменивают на десять младших. |
| Как проверяют результат | Вычитанием одного слагаемого из суммы. | Сложением разности и вычитаемого. |
Задача 1. Вычислите 243 + 125, представив каждое число суммой разрядных слагаемых. Сначала разложим числа, чтобы отдельно сложить одинаковые разряды. Затем объединим полученные части суммы. Так видно, почему сложение по разрядам даёт тот же результат, что и сложение чисел целиком.
Ответ: 368.
Задача 2. Вычислите 368 + 257 и объясните, как изменяется запись при сложении единиц и десятков. Начинаем с единиц, потому что перенос из младшего разряда нужно прибавить к следующему. Десять единиц заменяем десятком, а десять десятков — сотней. В столбик это выглядит как перенос единицы в соседний старший разряд.
Ответ: 625. Запись сохраняет значение суммы: 15 единиц — это 1 десяток и 5 единиц, а 12 десятков — 1 сотня и 2 десятка.
Задача 3. Вычислите 5002 − 1768 и проверьте результат сложением. В числе 5002 есть 5 тысяч, но нет сотен и десятков, поэтому сразу взять единицу из соседнего разряда нельзя. Преобразуем разрядный состав через нули, не изменяя самого числа. После вычисления сложим разность с вычитаемым и проверим, получили ли 5002.
Ответ: 3234.
Если складывать или вычитать цифры, стоящие не в одинаковых разрядах, результат будет неверным: например, десятки окажутся соединены с сотнями. Так бывает, когда записи не выровнены и ученик ориентируется только на положение цифры в строке. Перед вычислением проверьте, что единицы стоят под единицами, а разряды совпадают.
При сумме цифр 10 или больше иногда забывают перенести единицу в следующий разряд. Тогда часть значения теряется: 15 единиц нельзя записать как 15 единиц в одном разряде. Разделите сумму на десяток и остаток, а затем проверьте сложение вычитанием.
При вычитании можно обменять единицу старшего разряда на десять младших, но забыть уменьшить старший разряд на единицу. В результате одно и то же значение учитывается дважды, поэтому ответ завышен. После обмена пересчитайте обе соседние позиции и проверьте разность сложением.
Нули в уменьшаемом затрудняют обмен: нельзя взять единицу из нулевого разряда. Ошибка возникает, если изменить только нужный разряд и не отразить последовательные обмены через нули. Проследите путь от ближайшего ненулевого старшего разряда и убедитесь, что новое разложение по-прежнему даёт исходное число.
Для работы с многозначными числами нужно понимать разрядный состав, значение цифры в записи и соотношение соседних разрядных единиц. Эти знания объясняют, почему записи выравнивают и как выполняют перенос или обмен. Сложение и вычитание нужны в письменных вычислениях и при решении текстовых задач. Те же умения пригодятся при освоении умножения и деления многозначных чисел.
Почему числа при вычислении столбиком выравнивают по разрядам, а не просто по цифрам?
Одинаковые разряды обозначают единицы одного порядка: например, десятки нельзя складывать с сотнями. Поэтому записи выравнивают так, чтобы единицы оказались под единицами, десятки под десятками и так далее. Иначе цифры будут обозначать не те величины.
Почему при сложении иногда нужно переносить единицу в следующий разряд?
Десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего разряда: десять единиц — это десяток, десять десятков — сотня. Поэтому при сумме 10 или больше оставляют в разряде только число единиц меньше десяти, а остальные объединяют в единицу старшего разряда.
Что делать, если в разряде уменьшаемого стоит ноль?
Нужно найти ближайший слева разряд, в котором есть единицы, и обменять одну из них на десять единиц соседнего младшего разряда. Если между ними стоят нули, обмен последовательно проходит через каждый такой разряд. При этом общее значение уменьшаемого не меняется.
С какого разряда удобнее начинать сложение и вычитание?
Обычно начинают с младшего разряда — единиц — и переходят к десяткам, сотням и дальше. Так перенос при сложении сразу учитывается в следующем разряде, а при вычитании можно вовремя выполнить обмен. Записи чисел предварительно выравнивают по разрядам.
Как проверить, правильно ли выполнено вычитание?
К разности прибавляют вычитаемое. Если получилось уменьшаемое, вычитание выполнено верно. Например, для проверки равенства 5002 − 1768 = 3234 вычисляют 3234 + 1768 и сравнивают результат с 5002.
Сложение и вычитание многозначных чисел
