Сложение и вычитание многозначных чисел

Определения и обозначения

Многозначное число — число, записанное несколькими цифрами. Значение каждой цифры определяется её разрядом: например, в числе 2341 цифра 2 означает 2000, цифра 3 — 300, цифра 4 — 40, а цифра 1 — 1. Это помогает увидеть состав числа и правильно выполнять действия с его частями.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Разряды называют единицами, десятками, сотнями, тысячами и далее; например, в записи 3526 цифра 5 стоит в разряде сотен. Знание разрядов нужно, чтобы при вычислениях соединять цифры, которые обозначают единицы одного и того же порядка.

Разрядное слагаемое — слагаемое, которое показывает значение цифры в определённом разряде. Например, число 2341 можно представить так: 2000 + 300 + 40 + 1; каждое слагаемое соответствует своему разряду. Такое представление позволяет объяснить, почему многозначные числа можно складывать по частям.

Разрядная единица — одна единица счёта данного разряда: единица, десяток, сотня или тысяча. Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего: десять десятков — это одна сотня. Это соотношение лежит в основе переноса при сложении и преобразования разрядов при вычитании.

Как это устроено

Запись числа опирается на десятичную систему счисления: в ней каждые десять единиц одного разряда образуют одну единицу следующего. Поэтому значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её положения: 4 в записи 40 означает четыре десятка, а в записи 400 — четыре сотни. Разложение числа на разрядные слагаемые показывает, как эти значения складываются в целое число.

Сложение можно выполнять отдельно для единиц, десятков, сотен и других разрядов, потому что каждое число состоит из таких частей. Цифры одинаковых разрядов ставят друг под другом, чтобы не смешать, например, десятки с сотнями. Начинают с младшего разряда — единиц: если их сумма окажется больше девяти, появившийся десяток можно сразу учесть в следующем разряде.

Если сумма цифр в разряде равна десяти или больше, её нельзя целиком записать одной цифрой: в одном разряде помещается не более девяти единиц. Поэтому сумму представляют разрядными слагаемыми: например, 14 единиц — это 1 десяток и 4 единицы. Четыре записывают в разряде единиц, а десяток переносят к цифрам разряда десятков; так сохраняется значение результата.

Вычитание тоже связано с разрядным составом: из числа вычитают соответствующие разрядные части другого числа. Если в разряде уменьшаемого единиц меньше, чем нужно вычесть, берут одну единицу соседнего, более крупного разряда. Её заменяют десятью единицами текущего разряда, а соседний разряд уменьшают на единицу; преобразуется запись числа, но его значение остаётся прежним.

Обратные действия позволяют проверить вычисление, потому что сложение и вычитание восстанавливают исходную связь между числами. Если из найденной суммы вычесть одно слагаемое, должно получиться второе; если к разности прибавить вычитаемое, должно получиться уменьшаемое. Несовпадение показывает, что стоит проверить запись разрядов, перенос или преобразование при вычитании.

Сложение и вычитание многозначных чисел по разрядам

Используйте таблицу как порядок действий: сначала выровняйте числа по разрядам, затем двигайтесь от единиц влево. В каждой строке найдите подходящий случай и отдельно проследите за переносом или преобразованием. Проверка обратным действием помогает убедиться в результате.

Разбор задач

Сложение без перехода через разряд

Условие: вычислите 2341 + 3526. Разряды в записи чисел соответствуют друг другу, а сумма цифр в каждом разряде меньше десяти. Значит, перенос не понадобится, и можно складывать пары цифр, начиная с единиц.

1. Записываем числа так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки — под десятками и так далее.
2. Складываем единицы: 1 + 6 = 7. В разряде десятков получаем 4 + 2 = 6.
3. Складываем сотни: 3 + 5 = 8, затем тысячи: 2 + 3 = 5. Переносов нет.

Читаем результат по разрядам: 5867. Ответ: 2341 + 3526 = 5867.

Сложение с переходом через разряд

Условие: вычислите 2786 + 1548. Здесь в некоторых разрядах сумма цифр превышает девять, поэтому будем записывать цифру единиц, а десяток переносить в следующий разряд. Двигаясь справа налево, не забываем прибавлять перенос к следующей паре цифр.

1. В разряде единиц: 6 + 8 = 14. Записываем 4, а 1 десяток переносим к десяткам.
2. В десятках: 8 + 4 + 1 = 13. Записываем 3, переносим 1 сотню; в сотнях получаем 7 + 5 + 1 = 13, записываем 3 и переносим 1 тысячу.
3. В тысячах: 2 + 1 + 1 = 4. Записываем 4; дополнительных разрядов не появляется.

Получаем 4334. Ответ: 2786 + 1548 = 4334.

Вычитание с преобразованием разрядов

Условие: вычислите 5002 − 1768 и проверьте ответ сложением. В разряде единиц 2 меньше 8, а в разряде десятков стоит 0; в сотнях тоже 0. Поэтому единицу нужно передать из тысяч через нулевые разряды, последовательно преобразовав их.

1. Уменьшаем 5 тысяч до 4 тысяч. Одну тысячу превращаем в 10 сотен; одну сотню передаём дальше, и остаётся 9 сотен.
2. Переданную сотню превращаем в 10 десятков; один десяток передаём в единицы, и остаётся 9 десятков. В единицах получаем 12, поэтому 12 − 8 = 4.
3. В десятках теперь 9 − 6 = 3, в сотнях 9 − 7 = 2, в тысячах 4 − 1 = 3. Получаем разность 3234.
4. Проверяем сложением: 3234 + 1768 = 5002. Результат совпал с уменьшаемым.

Ответ: 5002 − 1768 = 3234.

Типичные ошибки

Если цифры разных разрядов стоят друг под другом, складываются или вычитаются не соответствующие части чисел. Такую ошибку часто допускают, когда записывают пример без выравнивания по единицам. Проверьте столбцы: единицы должны стоять под единицами, десятки — под десятками и так далее.

При сложении можно забыть перенести десяток или учесть его дважды, из-за чего следующий разряд будет неверным. Это случается, если не отмечать перенос или терять его при переходе к следующей паре цифр. Проверяйте каждый разряд по очереди и сверяйте итог вычитанием одного слагаемого.

При вычитании, занимая единицу у соседнего разряда, иногда забывают уменьшить этот разряд. Тогда запись уже обозначает другое число, и результат не соответствует исходному примеру. После преобразования проследите, что соседний разряд уменьшился на единицу, а нужный разряд получил десять единиц.

При нескольких нулях подряд нельзя преобразовать только ближайший разряд: в нём нет единицы, которую можно передать дальше. Ошибка возникает, если пытаться сразу прибавить десять единиц к дальнему разряду, не меняя промежуточные. Передавайте единицу последовательно через каждый разряд и проверяйте число сложением с вычитаемым.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно понимать разрядный состав числа и десятичную систему счисления. Соотношение соседних разрядов объясняет, почему десять единиц заменяются одной единицей следующего разряда. Без этого трудно понять перенос при сложении и преобразование при вычитании.

Поразрядное выполнение действий пригодится при письменном умножении и делении многозначных чисел. Умение выравнивать разряды и следить за промежуточными результатами помогает выполнять эти вычисления точно. Навык проверки обратным действием используется при решении уравнений и текстовых задач: он помогает убедиться, что найденное значение подходит.

Что запомнить

• Цифры при записи чисел располагают по соответствующим разрядам.
• Складывать и вычитать многозначные числа удобно поразрядно, начиная с единиц.
• При сложении десять единиц разряда заменяют одной единицей следующего разряда.
• При вычитании нехватку единиц разряда восполняют преобразованием соседнего разряда.
• Преобразование разряда не меняет значения числа.
• Сложение проверяют вычитанием, а вычитание — сложением.