"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Сложение и вычитание многозначных чисел выполняют по разрядам: единицы складывают или вычитают с единицами, десятки — с десятками и так далее. Для удобства числа записывают столбиком, выравнивая их по единицам. При сложении иногда переносят десяток в следующий разряд, а при вычитании занимают одну единицу старшего разряда. Эти правила помогают точно считать большие числа и проверять вычисления обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, в записи которого используется два или более разряда. Значение цифры определяется не только самой цифрой, но и её местом: в числе 3487 цифра 4 обозначает четыре сотни, а цифра 8 — восемь десятков. Это помогает понимать состав числа и не путать, например, 34 и 304.
Разряд — позиция цифры в записи числа: единицы, десятки, сотни, тысячи и далее. Каждый следующий разряд слева в десять раз больше предыдущего, поэтому цифра 5 может означать пять единиц, пять десятков или пять сотен. Разрядный состав показывает, сколько единиц, десятков, сотен и других разрядных единиц содержит число.
Письменное сложение — способ сложения многозначных чисел поразрядно, когда числа записывают друг под другом. Цифры одинаковых разрядов складывают отдельно, а при необходимости десяток переносят в следующий разряд. Такой способ позволяет не терять разрядные значения и аккуратно выполнять длинные вычисления.
Письменное вычитание — способ вычитания многозначных чисел поразрядно с возможным переходом через разряд. Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, одну единицу старшего разряда заменяют десятью единицами соседнего. Это позволяет выполнить вычитание, не меняя значения числа в целом.
При письменном вычислении числа записывают так, чтобы цифры одноимённых разрядов оказались друг под другом. Обычно их выравнивают по правому краю: справа находятся единицы, левее — десятки и сотни. Если поставить цифру десятков под цифрой единиц, сложатся или вычтутся не те разрядные единицы, и ответ будет неверным. Поэтому вычисление начинают с единиц, а не с первого числа слева.
При сложении складывают цифры одного разряда и учитывают перенос, пришедший справа. Если сумма цифр равна 10 или больше, в текущий разряд записывают только число единиц этой суммы, а десяток прибавляют к следующему разряду. Например, 8 + 7 = 15: записывают 5 единиц и переносят 1 десяток. Перенос — часть суммы, поэтому его нужно прибавить к цифрам следующего разряда.
При вычитании сравнивают цифры одного разряда. Если цифры уменьшаемого хватает, из неё вычитают цифру вычитаемого; если не хватает, занимают одну единицу слева. Одна единица старшего разряда равна десяти единицам соседнего справа, поэтому после такого обмена число не меняется. Например, один десяток превращается в десять единиц, и из них уже можно вычесть нужное количество единиц.
Нули не убирают из записи: они показывают, что в соответствующем разряде нет разрядных единиц, и сохраняют места остальных цифр. Если при вычитании в нужном разряде стоит ноль, занимают у первого ненулевого разряда слева. Единица этого разряда уменьшается на 1, промежуточные нули становятся 9, а ноль, из которого непосредственно занимают, превращается в 10. Так заимствование проходит через один или несколько нулевых разрядов.
Правильность вычисления проверяют обратным действием: сложение — вычитанием, вычитание — сложением. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в переносе или заимствовании. Дополнительно оценивают порядок ответа: сумма двух положительных чисел должна быть больше каждого слагаемого, а разность при вычитании меньшего числа из большего — меньше уменьшаемого. Приблизительная оценка заранее подсказывает, какого размера должен быть результат.
| Элемент алгоритма | Письменное сложение | Письменное вычитание |
|---|---|---|
| Запись чисел | Единицы под единицами, десятки под десятками и далее. | Единицы под единицами, десятки под десятками и далее. |
| Начало вычисления | С разряда единиц, справа налево. | С разряда единиц, справа налево. |
| Действия с цифрами разрядов | Складывают цифры одного разряда и учитывают перенос справа. | Вычитают цифры одного разряда, учитывая заимствование справа. |
| Переход через разряд | Десяток от суммы переносят в следующий разряд. | Единицу старшего разряда заменяют десятью единицами соседнего. |
| Окончание вычисления | Заканчивают после сложения старшего разряда, записывая перенос, если он остался. | Заканчивают после вычитания цифр последнего разряда. |
| Проверка результата | Из суммы вычитают одно из слагаемых. | К разности прибавляют вычитаемое. |
Сначала найди в таблице этап, на котором возник вопрос, а затем сравни порядок действий для сложения и вычитания. В обоих алгоритмах важны выравнивание разрядов и движение справа налево, но перенос и заимствование выполняются по-разному. После вычисления выбери указанное обратное действие для проверки.
Сначала выравниваем числа по единицам и складываем справа налево. В каждом разряде учитываем перенос, если сумма получилась двузначной. Запись показывает, как перенос из единиц изменяет сложение десятков, а перенос из десятков — сложение сотен.
Ответ: 6056. В результате сумма больше каждого слагаемого, что согласуется с правилом сложения положительных чисел. Проверку можно выполнить вычитанием: 6056 − 2569 = 3487.
Записываем уменьшаемое и вычитаемое разряд под разрядом и начинаем с единиц. В разрядах единиц, десятков и сотен цифры уменьшаемого меньше цифр вычитаемого, а между единицами и тысячами стоят нули. Поэтому единицу нужно занять у тысяч, передав её через все нулевые разряды.
Ответ: 4137. Проверяем сложением: 4137 + 2867 = 7004, значит, разность найдена верно. В ответе 4137 меньше уменьшаемого 7004, что разумно для вычитания положительного числа.
Действия сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо. Сначала записываем 7395 под 45806 по правому краю: пустые старшие разряды второго числа не меняют разрядное положение цифр. Затем из полученной суммы вычитаем 12678 и проверяем результат обратными действиями.
Ответ: 40523. Обе проверки возвращают числа из исходного выражения, значит, вычисления согласуются друг с другом. Ответ также близок к 45806 − 13000, что подтверждает его порядок величины.
Если записывать числа по левому краю или просто одно под другим без выравнивания единиц, цифры разных разрядов могут оказаться в одной колонке. Так происходит, когда не учитывают позиционное значение цифр. Перед вычислением проверь, что единицы стоят под единицами; после этого можно сверить результат обратным действием.
При сложении иногда забывают перенос десятка или ошибочно прибавляют его не к тому разряду. Обычно это случается, когда переходят к следующей колонке слишком быстро. После каждой суммы больше 9 запиши цифру единиц и отметь перенос, а затем проверь сложение вычитанием одного слагаемого из ответа.
При вычитании можно занять единицу слева, но оставить исходную цифру старшего разряда без изменения. Тогда в записи окажется больше разрядных единиц, чем было, и разность получится завышенной. Сразу уменьши разряд, из которого занял, на единицу; сложение разности с вычитаемым должно вернуть уменьшаемое.
Заимствование через нули часто выполняют неверно: забывают уменьшить первый ненулевой разряд слева или меняют не все промежуточные нули. Причина — потеря цепочки передачи единицы. Отмечай переход по каждому разряду: старший разряд уменьшается на 1, промежуточные нули становятся 9, нужный разряд получает 10; затем обязательно проверь сложением.
Для письменных вычислений нужны знания о разрядном составе многозначных чисел, значении цифр и таблице сложения и вычитания. Без этого трудно понять, почему цифры записывают в определённые колонки и откуда берётся перенос. Уверенное владение алгоритмами помогает решать текстовые задачи, числовые выражения и задачи с величинами.
Дальше те же представления о разрядах и аккуратной записи пригодятся при действиях с многозначными числами и величинами. Письменное умножение и деление тоже опираются на разрядное значение цифр и расположение чисел. Поэтому привычка проверять вычисления полезна и при изучении следующих способов действий.
Почему вычисления начинают именно с единиц?
При сложении результат в разряде единиц может дать перенос десятка, а при вычитании может понадобиться занять единицу десятков. Действуя справа налево, мы сразу учитываем эти изменения в следующем разряде.
Что делать, если при сложении получается двузначное число?
В разряд записывают цифру единиц полученной суммы, а цифру десятков переносят в следующий разряд. Например, если 8 + 7 = 15, записывают 5, а 1 прибавляют к десяткам.
Как вычитать, если в уменьшаемом стоит ноль?
Нужно найти слева первый разряд, в котором есть ненулевая цифра, и занять из него единицу. При переходе через нули в каждом промежуточном разряде появляется 9, а в разряде, где выполняют вычитание, — 10 единиц.
Можно ли складывать или вычитать числа, записанные без выравнивания разрядов?
Письменно выполнять действия без выравнивания нельзя: цифры разных разрядов могут оказаться друг под другом. Записывай числа так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки — под десятками.
Как проверить результат сложения или вычитания?
Сложение проверь вычитанием: из суммы вычти одно из слагаемых и получи другое. Вычитание проверь сложением: к разности прибавь вычитаемое и получи уменьшаемое.
2.23—2.26. Сложение и вычитание многозначных чисел
