Деление на двузначное и трёхзначное число (начало)

Определения и обозначения

Деление на двузначное число — это поиск частного, когда делитель записан двумя цифрами, например 24 или 37. Нельзя делить каждую цифру делимого на 24 по отдельности, поэтому частное находят постепенно, рассматривая разрядные части делимого. Этот способ нужен, чтобы точно определить, сколько раз двузначный делитель содержится в делимом.

Деление на трёхзначное число — это деление, в котором делитель состоит из сотен, десятков и единиц, например 126. Его выполняют почти так же, как деление на двузначное число: выбирают часть делимого, подбирают цифру частного, проверяют её умножением и вычитают произведение. Отличается только величина делителя, поэтому для начала деления часто приходится взять больше цифр делимого.

Неполное частное — это часть частного, которую находят на отдельном шаге деления. Обычно такая часть соответствует одному разряду: единицам, десяткам или сотням частного. Последовательно найденные разрядные части записывают на нужных местах, и вместе они образуют полное частное.

Остаток — это часть делимого, которая остаётся после того, как из него вычли произведение делителя на найденное целое частное. Остаток показывает, сколько единиц не удалось разделить на группы размером с делитель. Он обязательно меньше делителя: если остаток не меньше, значит, можно выделить ещё одну группу.

Как это устроено

При многозначном делении удобно двигаться слева направо, начиная с наибольшего разряда, потому что так сразу определяется старшая цифра частного. Сначала рассматривают часть делимого, составленную из одной или нескольких первых цифр. Она должна быть не меньше делителя, иначе делитель не поместится в ней ни одного раза и цифру частного на этом месте определить нельзя. Если первая цифра делимого меньше делителя, к ней присоединяют следующую цифру и проверяют получившееся число.

Первую цифру частного оценивают по выбранной разрядной части делимого: прикидывают, сколько раз в ней может поместиться делитель. Например, при делении 672 на 24 сначала рассматривают 67, так как 6 меньше 24, а 67 уже больше 24. Делитель 24 помещается в 67 примерно два раза, поэтому пробуют цифру 2. Такая оценка сокращает подбор, но окончательное решение нужно проверить умножением.

Проверка умножением нужна, чтобы убедиться, что выбранное число групп действительно помещается в рассматриваемой части делимого. Умножают делитель на предполагаемую цифру частного и сравнивают произведение с этой частью. Если произведение больше, цифра частного завышена: вычесть такое число нельзя, поэтому цифру уменьшают. Если произведение не превышает рассматриваемую часть, его можно вычесть; при этом выбирают наибольшую подходящую цифру, чтобы не оставлять возможность выделить ещё одну группу.

После вычитания получают остаток текущего шага, к которому присоединяют следующую цифру делимого. Так возникает новая часть числа, и для неё снова подбирают цифру частного умножением. Присоединять цифру нужно именно справа: это отражает переход от уже рассмотренных разрядов к следующему и сохраняет значение исходного делимого. Если следующей цифры нет, полученный остаток становится остатком всего деления.

В конце проверяют, что остаток меньше делителя: иначе частное можно увеличить ещё на единицу или несколько единиц. Затем выполняют общую проверку равенством: делимое = делитель × частное + остаток. При делении без остатка остаток равен нулю, поэтому делимое просто равно произведению делителя и частного. Эта проверка подходит и для двузначного, и для трёхзначного делителя.

Как выполнять деление на двузначное и трёхзначное число

Пользуйся таблицей как планом: на каждом шаге переходи к следующему действию только после проверки произведения. В столбце для трёхзначного делителя меняется лишь величина делителя и иногда размер первой части делимого. Остальные действия остаются теми же.

Разбор задач

Задача 1. Разделить 672 на 24 без остатка. Первая цифра 6 меньше 24, поэтому начинаем с числа 67. Подбираем цифру частного по размеру произведения, а после вычитания спускаем последнюю цифру делимого. Так можно проверить, получится ли точное деление.

1. Рассматриваем 67. Делитель 24 помещается в нём два раза, потому что 24 × 2 = 48, а 24 × 3 = 72 больше 67.
2. Записываем 2 в частное и вычитаем: 67 − 48 = 19. Присоединяем следующую цифру делимого, 2; получаем 192.
3. Проверяем подбор: 24 × 8 = 192. Записываем 8 в частное и вычитаем 192 − 192 = 0.

Ответ: 672 ÷ 24 = 28. Проверка: 24 × 28 = 672, значит, деление выполнено без остатка.

Задача 2. Разделить 1482 на 37. Первая цифра 1 меньше делителя, как и первые две цифры 14, поэтому начинаем с 148. Затем после вычитания используем оставшиеся цифры по очереди. Здесь важно сохранить место нуля в частном: в числе 1482 после 148 следующая цифра — 2.

1. В числе 148 делитель 37 помещается четыре раза: 37 × 4 = 148. Записываем 4 в разряд десятков частного и вычитаем, получая 0.
2. Присоединяем следующую цифру делимого — 2. Делитель 37 в числе 2 не помещается ни одного раза, поэтому в разряде единиц частного записываем 0.
3. Остаток равен 2. Он меньше 37, значит, деление закончено и частное с остатком найдено.

Ответ: 1482 ÷ 37 = 40 (ост. 2). Проверка: 37 × 40 + 2 = 1482.

Задача 3. Разделить 5317 на 126 с остатком. Начинаем с 531, так как первые две цифры образуют число 53, меньшее делителя. Подбирая цифру частного, каждый раз проверяем произведение умножением; затем после вычитания присоединяем следующую цифру. В конце отдельно проверяем величину остатка и равенство.

1. 126 помещается в 531 четыре раза: 126 × 4 = 504, а 126 × 5 = 630 больше 531. Вычитаем: 531 − 504 = 27.
2. Присоединяем следующую цифру делимого, 7, и получаем 277. Делитель помещается два раза: 126 × 2 = 252, а 126 × 3 = 378 больше 277.
3. Вычитаем 277 − 252 = 25. Остаток 25 меньше 126, поэтому записываем частное 42 и заканчиваем деление.

Ответ: 5317 ÷ 126 = 42 (ост. 25). Проверка: 126 × 42 + 25 = 5292 + 25 = 5317.

Типичные ошибки

Иногда начинают деление с первой цифры делимого, хотя она меньше делителя. Тогда кажется, что на первом шаге ничего нельзя сделать, или неверно определяется место первой цифры частного. Причина ошибки — попытка делить по одной цифре, не проверяя величину выбранной части. Перед подбором убедись, что рассматриваемое число не меньше делителя; если меньше, присоедини следующую цифру.

Другая ошибка — выбрать слишком большую цифру частного, так что произведение делителя на неё больше рассматриваемой части делимого. Такое произведение невозможно вычесть без получения отрицательного числа, поэтому дальнейшее деление пойдёт неправильно. Обычно это происходит, когда цифру выбирают только на глаз и не делают проверку. Умножь делитель на пробную цифру: если произведение больше части делимого, уменьши цифру и проверь снова.

После вычитания можно забыть присоединить следующую цифру делимого или записать её не на том месте. В результате образуется не то число, и последующие цифры частного тоже будут неверными. Эта ошибка часто возникает, когда внимание сосредоточено только на вычитании. Сверяйся с исходным делимым слева направо и после каждого вычитания отмечай, какая цифра ещё не использована.

Остатком иногда называют число, равное делителю или больше него. Но это означает, что в остатке ещё помещается одна или несколько групп размером с делитель, то есть частное можно увеличить. Ошибка возникает, если остановить деление сразу после последнего вычитания и не оценить остаток. Проверь условие остаток < делитель; если оно нарушено, продолжи деление или исправь вычисления.

Связь с другими темами

Для деления на многозначное число нужны навыки письменного умножения и деления, знание таблицы умножения и понимание разрядного состава чисел. Без этого трудно быстро оценивать произведение и правильно выбирать цифру частного. Приёмы пригодятся в задачах на распределение предметов на равные группы и при вычислениях с большими числами. Проверка обратным действием помогает находить ошибки: умножение частного на делитель с добавлением остатка должно восстановить делимое.

Что запомнить

• Частное подбирают так, чтобы произведение делителя на его цифру не превышало рассматриваемую часть делимого.
• Подбор цифры частного проверяют умножением.
• После вычитания очередного произведения переходят к следующему разряду делимого.
• Остаток должен быть меньше делителя.
• При делении с остатком делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток.
• Порядок шагов одинаков при делении на двузначное и трёхзначное число.