"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г.
Умножение на двузначное или трёхзначное число можно свести к нескольким умножениям на разрядные слагаемые. Например, множитель 34 — это 30 + 4, поэтому достаточно найти два произведения и сложить их. При умножении столбиком эти результаты записывают строками со сдвигом по разрядам: так десятки остаются десятками, а сотни — сотнями. Этот приём помогает считать большие произведения без длинного сложения одинаковых слагаемых и проверять вычисления по частям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, состоящее из десятков и единиц. Например, 34 = 30 + 4: число 34 можно представить как сумму трёх десятков и четырёх единиц. Такое разложение показывает, что означает каждая цифра. Оно нужно, чтобы умножать не на число целиком, а на его понятные разрядные части.
Трёхзначное число — число, состоящее из сотен, десятков и единиц. Например, 125 = 100 + 20 + 5, то есть одна сотня, два десятка и пять единиц. Разложение помогает увидеть значение каждой цифры. С ним можно превратить умножение на трёхзначное число в несколько более простых действий.
Разрядное слагаемое — часть числа, которая показывает вклад одного разряда в его значение. В записи 125 = 100 + 20 + 5 такими слагаемыми служат 100, 20 и 5. Они нужны, чтобы учитывать не только цифру множителя, но и её место в числе. Например, цифра 2 в числе 125 означает 20, а не 2.
Неполное произведение — результат умножения числа на отдельное разрядное слагаемое множителя. Если 23 умножают на 14, получают неполные произведения 23 · 10 и 23 · 4. Каждое из них отвечает за часть общего результата. Их складывают, чтобы получить полное произведение.
Умножение столбиком — запись вычисления, при которой отдельно находят неполные произведения, а затем складывают их. Цифры записывают так, чтобы единицы, десятки и сотни находились в соответствующих разрядах. Этот способ упорядочивает вычисления и снижает риск перепутать части результата. Особенно удобно применять его, когда множитель состоит из нескольких разрядов.
Чтобы умножить число на двузначный множитель, разложи множитель на десятки и единицы. Например, 14 = 10 + 4, значит 23 · 14 можно заменить суммой 23 · 10 и 23 · 4. Такое преобразование разрешено распределительным свойством умножения: множитель 23 умножается на каждое слагаемое отдельно. После этого остаётся сложить два более простых результата.
При умножении на цифру десятков нужно учитывать её разрядное значение. В числе 34 цифра 3 означает 30, поэтому умножение на десятки — это умножение на 30, а не на 3. Например, 23 · 30 можно вычислить как 23 · 3 · 10 = 69 · 10 = 690. Если забыть множитель 10, получится результат в десять раз меньше нужного.
Трёхзначный множитель разбивают на три части: сотни, десятки и единицы. Например, 128 = 100 + 20 + 8, поэтому произведение на 128 состоит из произведений на 100, 20 и 8. Каждая часть даёт своё неполное произведение, всего их три. Такой расчёт не меняет значение выражения: он лишь заменяет один сложный шаг несколькими понятными.
После вычисления неполные произведения складывают, потому что исходный множитель равен сумме своих разрядных слагаемых. Для числа 128 это означает: умножить на 100, на 20 и на 8, а затем сложить результаты. Это напрямую следует из распределительного свойства: a · (100 + 20 + 8) = a · 100 + a · 20 + a · 8. Если каждое слагаемое посчитано верно, сумма равна исходному произведению.
В записи столбиком цифры располагают по разрядам, а вычисление начинают с единиц. Сначала находят произведение на цифру единиц и записывают его под множителем. Затем умножают на десятки: поскольку это десятки, строка результата сдвигается на один разряд влево. При умножении на сотни сдвиг составляет два разряда; после заполнения строк их складывают, не смешивая значения разрядов.
| Разряд множителя | Разрядное слагаемое | Что умножаем | Как записываем неполное произведение |
|---|---|---|---|
| Единицы | Цифра единиц | Множимое на число единиц | Записываем под единицами, без сдвига |
| Десятки | Цифра десятков, умноженная на 10 | Множимое на число десятков | Сдвигаем запись на один разряд влево |
| Сотни | Цифра сотен, умноженная на 100 | Множимое на число сотен | Сдвигаем запись на два разряда влево |
Сначала определи, какой разряд представляет цифра множителя, и только потом находи произведение. Сдвиг в записи показывает, что результат относится к десяткам или сотням, а не к единицам. По числу разрядов множителя легко проверить, все ли неполные произведения учтены.
Нужно представить множитель 14 как сумму десятков и единиц, затем выполнить два умножения. Так мы применим распределительное свойство и увидим, откуда складывается ответ. Проверим, что произведение на десятки учитывает именно 10, а не одну цифру десятков.
Ответ: 322. Приблизительная проверка: 23 близко к 20, а 14 — к 15, значит произведение должно быть около 300. Полученный ответ по величине правдоподобен.
Разложим множитель 128 на 100, 20 и 8. Значит, понадобятся три неполных произведения, и каждое будет записано в своём разряде. После этого сложим результаты; порядок строк помогает не потерять сотни, десятки или единицы.
В столбик записи можно представить так: 368, затем 920 и 4600 со сдвигом по разрядам; сумма равна 5888. Проверим оценкой: 46 близко к 50, а 128 — примерно к 120, так что произведение около 6000. Ответ: 5888.
В каждой из 24 одинаковых коробок лежит по 135 карандашей, поэтому общее количество найдём умножением 135 · 24. Разложим 24 на 20 и 4: это позволит вычислить результат двумя частями. В конце оценим, подходит ли ответ к условию.
Оценка подтверждает ответ: 135 — немного больше 100, а 24 — примерно 20, поэтому результат должен быть немного больше 2000. Число 3240 подходит к такой оценке. Ответ: купили 3240 карандашей.
Первая ошибка — умножить на цифру десятков, не учитывая её разряд. Например, в числе 34 цифра 3 означает 30, поэтому произведение только на 3 окажется в десять раз меньше нужной части. Так ошибаются, когда смотрят на цифру, но забывают её место в числе. Проверь себя: запиши множитель в виде суммы разрядных слагаемых.
Вторая ошибка — записать произведение на десятки или сотни без сдвига. Тогда результаты относятся не к тем разрядам, и при сложении, например, десятки могут оказаться под единицами. Это происходит, если выполнять столбик механически и не связывать запись с разрядным значением. Проверь, что строка на десятки сдвинута на один разряд, а на сотни — на два.
Третья ошибка — пропустить неполное произведение или сложить не все строки. При трёхзначном множителе легко забыть один из трёх разрядов, особенно если в числе есть ноль. Причина обычно в том, что количество действий заранее не проверяют. Перед сложением пересчитай разрядные слагаемые и убедись, что каждому соответствует результат.
Четвёртая ошибка — потерять перенос при умножении или принять ответ без проверки. Если произведение цифр двузначное, десятки нужно прибавить к следующему разряду; забытый перенос изменяет итог. Такое случается при длинной записи, когда переходят к следующему действию слишком быстро. Пересчитай разряды и проверь результат оценкой или обратным действием, например делением произведения на множитель.
Для вычислений столбиком нужно уверенно умножать многозначное число на однозначное и складывать числа по разрядам: именно эти действия повторяются при нахождении неполных произведений. Основа способа — разложение числа на разрядные слагаемые и распределительное свойство умножения. Позже тот же приём поможет вычислять произведения больших чисел. Он пригодится и в задачах на стоимость или количество предметов, когда одинаковые группы нужно посчитать вместе.
Почему при умножении столбиком сначала умножают на единицы?
Единицы записывают в первом разряде справа, поэтому их произведение можно сразу поставить под единицами. Затем отдельно учитывают десятки и сотни, сдвигая записи на нужное число разрядов. Такой порядок помогает не перепутать разряды.
Почему неполное произведение на десятки записывают со сдвигом?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а десятки: например, 3 в числе 34 означает 30. Поэтому произведение на неё должно занимать разряд десятков. Сдвиг записи на один разряд показывает это значение.
Что делать, если при умножении цифр получается двузначное число?
В разряде записывают цифру единиц результата, а число десятков переносят в следующий разряд. Например, при 7 · 8 = 56 записывают 6, а 5 добавляют к произведению в соседнем разряде. Перенос нужно учитывать при дальнейшем умножении.
Как не забыть одно из неполных произведений при трёхзначном множителе?
Перед вычислением разложи множитель на сотни, десятки и единицы. Для каждого разрядного слагаемого найди отдельное произведение и запиши его в своей строке. Перед сложением проверь, что строк три и все разряды учтены.
Как проверить результат умножения на двузначное или трёхзначное число?
Сначала оцени ответ: округли множители до удобных чисел и сравни примерный результат с полученным. Для точной проверки можно разделить произведение на один из множителей и получить другой. Если деление выполняется без остатка и результат совпадает, вычисление согласуется.
Умножение на двузначное и трёхзначное число
