"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г.
Многие ситуации можно описать как процесс: со временем меняется положение тела, температура воды или количество жидкости в сосуде. Чтобы разобраться в таком изменении, выделяют переменные величины и рассматривают их значения в разные моменты. Отдельный результат или момент, выбранный по условию, называют событием. Описывать процесс помогает таблица: она показывает, как связаны величины и когда наступает нужное событие.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процесс — изменение состояния или величин со временем. У него можно определить начало, проследить ход и, если известно, указать завершение. Это понятие помогает увидеть в ситуации не отдельные числа, а последовательность изменений, например движение тела от старта до остановки.
Событие — выделенный момент или результат процесса, который описывают через значения величин. Например, при движении событием может быть достижение заданного места. Это понятие нужно, чтобы сформулировать, какой именно момент процесса требуется найти или сравнить.
Переменная величина — величина, способная принимать разные значения в ходе процесса. При движении такой величиной может быть пройденное расстояние, а при нагревании — температура. Выделив переменные величины, можно описывать изменения точнее, чем одними словами.
Значение переменной величины — конкретное значение, которое она принимает в определённый момент процесса. Например, через две минуты движения расстояние может составлять 6 м. Это различие помогает не путать саму изменяющуюся величину с отдельным числом из её возможных значений.
Наблюдая за ситуацией, сначала замечают, что именно меняется и в течение какого времени. Так выделяют процесс: у него есть начальное состояние, ход и возможный итог. Затем изменение описывают величинами, потому что слова «становится больше» или «движется дальше» не всегда позволяют сравнить разные состояния точно. Например, вместо общего описания движения можно фиксировать время и пройденное расстояние.
При движении тела обычно меняются время наблюдения и расстояние от начальной точки до тела. При наполнении сосуда меняются время и количество воды. Некоторые условия при этом могут оставаться постоянными: например, скорость движения или скорость наливания, а также вместимость сосуда. Разделение переменных и постоянных величин нужно потому, что постоянные условия помогают понять, почему изменения происходят именно так.
Событие выделяют из процесса с помощью условия, которое можно проверить. Для движения условием может быть «тело находится на расстоянии 12 м от старта», а для сосуда — «количество воды равно его вместимости». Тогда задача о событии превращается в поиск момента, когда нужное значение достигнуто. Без чёткого условия нельзя однозначно понять, какой именно результат процесса требуется найти.
Значения переменных величин часто связаны между собой. Если сосуд наполняют равномерно, то за большее время в него попадёт больше воды; при постоянной скорости движения с увеличением времени увеличится и пройденное расстояние. Такая связь зависит от условий: если скорость меняется, расстояние за одинаковые промежутки времени может быть разным. Поэтому в задаче нужно учитывать не только сами величины, но и то, что известно о ходе процесса.
Таблица позволяет записать значения величин для разных моментов и увидеть изменения без длинного словесного описания. В ней можно сопоставить, например, время и расстояние, а затем найти строку, где расстояние удовлетворяет условию события. Если нужного значения в таблице нет, по известной закономерности можно оценить или вычислить соответствующий момент. Сравнивая таблицы двух процессов, узнают, где одно и то же событие наступило раньше.
| Что описываем | Как это определить | Пример при движении тела |
|---|---|---|
| Процесс | Изменение состояния или величин со временем; указывают начало, ход и возможное завершение. | Тело движется от точки старта по дороге. |
| Переменная величина | Проверяют, может ли она принимать разные значения в ходе процесса. | Время движения и расстояние от старта изменяются. |
| Значение величины в выбранный момент | Фиксируют конкретное число для определённого состояния процесса. | Через 2 минуты тело прошло 4 м. |
| Событие и условие его наступления | Формулируют проверяемое условие и находят, когда оно выполнено. | Тело достигло отметки 12 м. |
| Связь между изменяющимися величинами | Сопоставляют значения и учитывают условия процесса. | При постоянной скорости большему времени соответствует большее расстояние. |
Сначала выберите, какие величины описывают процесс, а затем запишите их значения для нескольких моментов. Условие события используйте как цель поиска: оно подскажет, какую строку таблицы нужно найти. Сравнивая строки, учитывайте, одинаковы ли условия процессов.
Условие. Воду нагревают и наблюдают за тем, как меняется её состояние. Нужно назвать процесс, две переменные величины и одну величину, которая в описании остаётся постоянной. Для ответа достаточно указать, что именно наблюдают и какие условия не меняются.
Определяем процесс: это нагревание воды, то есть изменение её состояния со временем.
Выбираем две переменные величины. Время нагревания меняется по мере наблюдения, а температура воды при нагревании также принимает разные значения.
Называем постоянную величину, если количество воды не меняют: масса воды остаётся одной и той же в течение описанного процесса.
Ответ. Процесс — нагревание воды; переменные величины — время и температура; постоянная величина — масса воды. Если воду добавлять или выливать, масса уже не будет постоянной, поэтому условия процесса нужно учитывать.
Условие. Пустой сосуд вместимостью 10 л наполняют водой с постоянной скоростью 2 л/мин. Нужно определить количество воды через 3 минуты и момент события «сосуд наполнен». Считаем, что вода поступает равномерно и не выливается.
Выделяем переменные: время t в минутах и количество воды V в литрах. При заданной постоянной скорости каждую минуту количество воды увеличивается на 2 л, поэтому до наполнения V = 2t.
Подставляем t = 3: V = 2 · 3 = 6 л. Значит, через три минуты в сосуде будет 6 л воды.
Записываем условие события: сосуд наполнен, когда V = 10 л. Решаем 2t = 10 и получаем t = 5 минут.
Ответ. Через 3 минуты в сосуде будет 6 л воды, а событие «сосуд наполнен» наступит через 5 минут. Проверка: за пять минут при скорости 2 л/мин поступит 10 л.
Условие. Два тела движутся от старта; таблицы показывают время и пройденное расстояние. Для первого тела указаны пары: 0 мин — 0 м, 2 мин — 4 м, 4 мин — 8 м, 6 мин — 12 м. Для второго: 0 мин — 0 м, 2 мин — 6 м, 4 мин — 12 м, 6 мин — 18 м. Нужно выяснить, какое тело раньше достигнет расстояния 12 м.
Выделяем событие: тело достигло отметки 12 м. Значит, в каждой таблице ищем значение расстояния 12 м и смотрим, какому времени оно соответствует.
В первой таблице расстояние 12 м соответствует времени 6 минут. Во второй таблице то же расстояние соответствует 4 минутам.
Сравниваем найденные моменты: 4 минуты меньше 6 минут. Следовательно, второе тело достигнет заданного расстояния раньше.
Ответ. Первое тело достигнет 12 м через 6 минут, второе — через 4 минуты; раньше придёт второе. Сравнивать нужно время наступления одного и того же события, а не только расстояния в разных строках.
Ошибка: называть событием весь процесс. Это происходит, когда любое описание изменения воспринимают как название результата, хотя процесс включает множество состояний. Проверьте себя вопросом: речь идёт о последовательности изменений или об одном выделенном моменте, например о достижении цели?
Ошибка: считать величину переменной только потому, что она обозначена буквой. Буквой могут обозначить и постоянное число, поэтому обозначение само по себе ничего не доказывает. Проверьте, принимает ли величина разные значения в рассматриваемом процессе; если нет, в этой задаче она не переменная.
Ошибка: путать переменную величину с её значением. Так бывает, когда число из одной строки таблицы принимают за всю изменяющуюся величину. Проверьте, относится ли число к конкретному моменту: например, расстояние — величина, а 4 м через две минуты — её значение.
Ошибка: описывать изменение одной величины, не указывая условия процесса. Например, расстояние за минуту зависит от скорости, а количество воды — от скорости наливания. Проверьте, какие условия известны и остаются ли они постоянными; при других условиях связь величин может измениться.
Для описания процесса нужны умения измерять величины, понимать числовые значения и читать простые таблицы. Эти навыки позволяют точно сравнивать состояния, а не полагаться только на словесное впечатление. Если измерения записаны аккуратно, легче заметить закономерность изменения.
Связанные переменные величины станут основой для изучения зависимостей, формул и графиков. Формула помогает кратко выразить связь, а график показывает её наглядно. Табличное описание может стать первым шагом к обоим способам.
Умение выделять событие пригодится в текстовых задачах на движение, работу и изменение количества. Условие события подсказывает, какое значение нужно найти и с чем его сравнить. Поэтому полезно сначала сформулировать условие словами, а уже потом выполнять вычисления.
Чем событие отличается от процесса?
Процесс — это изменение, происходящее в течение некоторого времени. Событие — выделенный момент или результат внутри этого процесса, например достижение телом нужного места.
Как понять, является ли величина переменной?
Нужно проверить, может ли величина принимать разные значения в рассматриваемом процессе. Если значение меняется, например расстояние при движении, величина переменная; одного обозначения буквой для этого недостаточно.
Может ли в одном процессе изменяться только одна величина?
Да, такое возможно: например, можно наблюдать только изменение температуры воды. Но часто вместе с ней меняются и другие величины, например время нагревания.
Зачем составлять таблицу значений процесса?
Таблица помогает зафиксировать значения величин в выбранные моменты. По ней удобно проследить изменения, сравнить состояния процесса и найти момент наступления заданного события.
Как определить, когда в процессе наступит заданное событие?
Сначала нужно сформулировать условие события, например расстояние стало равным 12 м. Затем по описанию или таблице найти момент, когда величина принимает нужное значение.
Процессы и события. Переменные величины
