"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г.
Изменение одной величины часто связано с изменением другой: например, чем дольше едет велосипедист с постоянной скоростью, тем больше расстояние. Чтобы описать такие ситуации, сравнивают приращения величин или их отношения. Равномерный процесс узнают по одинаковым приращениям, а прямую пропорциональность — по постоянному отношению значений. Эти признаки помогают составлять формулы, проверять таблицы и решать практические задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерный процесс — процесс, в котором равным изменениям одной величины соответствуют равные изменения другой. Например, если велосипедист едет с постоянной скоростью, за каждый час он проходит одинаковое расстояние. Это понятие помогает описывать процессы, в которых величины меняются с постоянным шагом.
Неравномерный процесс — процесс, в котором равным изменениям одной величины соответствуют неодинаковые изменения другой. Например, автомобиль может за первый час проехать 50 км, а за следующий — 70 км. Такое описание помогает заметить, что темп изменения величин меняется.
Прямая пропорциональная зависимость — зависимость величин, которую можно записать как y = kx, где x и y — значения величин, а k — одно и то же число. При x ≠ 0 отношение y к x постоянно: y/x = k. По этому признаку можно проверять таблицы и находить неизвестные значения.
Коэффициент пропорциональности — число k в формуле y = kx. Оно показывает, во сколько раз y больше x, если k больше 1, или какую часть y составляет от x, если 0 < k < 1. Коэффициент связывает единицы измерения величин и позволяет вычислять одну из них по другой.
Чтобы понять, как связаны две величины, сначала выберите одну из них аргументом x, а другую — зависимой величиной y. Затем посмотрите, как меняется y, когда x увеличивается на одинаковые шаги. Такое сравнение отделяет закономерное изменение от случайного набора чисел и подсказывает, какой признак нужно проверять.
В таблице равномерность проверяют по приращениям — разностям соседних значений y. Если x каждый раз увеличивается на одинаковую величину, а разности y совпадают, процесс равномерный. Например, при x = 1, 2, 3 и y = 4, 7, 10 приращения y равны 3. Если шаги x неодинаковые, сначала нужно привести сравнение к одинаковым шагам или рассмотреть, насколько меняется y на единицу изменения x.
Равномерность не означает прямую пропорциональность, потому что эти понятия проверяют разное. Равномерный процесс характеризуется одинаковыми приращениями, а прямая пропорциональность — одинаковыми отношениями соответствующих значений. Так, при y = 2x + 3 каждому увеличению x на 1 соответствует увеличение y на 2, но отношение y/x меняется. Поэтому одной проверки разностей недостаточно.
Если отношение y/x одинаково для всех пар значений, обозначим это постоянное число буквой k. Тогда y/x = k, а после умножения обеих частей на x получаем y = kx. Чтобы найти k по одной известной паре, разделите значение y на значение x: например, если x = 2 и y = 10, то k = 10/2 = 5. Эту формулу можно применять, только если зависимость действительно прямая пропорциональная.
Формула позволяет вычислить значение, которого нет в таблице или условии. Если известно k и новое значение x, подставьте его в y = kx; если неизвестно x, разделите y на k. Результат стоит сверить с ситуацией: подходят ли единицы измерения и может ли полученное значение иметь смысл. Если для разных известных пар выходит разный k, прямая пропорциональность условию не соответствует.
| Признак | Равномерный процесс | Неравномерный процесс | Прямая пропорциональная зависимость |
|---|---|---|---|
| Что сравнивают при равных изменениях аргумента | Приращения y | Приращения y | Отношения соответствующих значений y/x |
| Как меняется зависимая величина | На одинаковую величину | На разные величины | В одном и том же отношении к x |
| Какое отношение или изменение остаётся постоянным | Приращение y при равных шагах x | Постоянного приращения нет | Отношение y/x |
| Подходящая запись зависимости | Например, y = 2x + 3 | Например, значения заданы без постоянного шага | y = kx |
| Пример | Путь при постоянной скорости, если время увеличивают равными промежутками | Путь автомобиля за равные промежутки времени при меняющейся скорости | Путь при постоянной скорости: s = vt |
Сначала определите, что требуется проверить: постоянство приращений или постоянство отношения. Для таблицы прямой пропорциональности делите y на x в каждой строке, а для равномерности сравнивайте приращения y при одинаковых шагах x. Эти признаки не заменяют друг друга.
Задача 1. За 1 час велосипедист проезжает 12 км. Сколько километров он проедет за 3 часа, если движется с той же скоростью? Постоянная скорость означает, что расстояние прямо пропорционально времени. Выберем t за время в часах, а s — за расстояние в километрах.
Ответ: за 3 часа велосипедист проедет 36 км.
Задача 2. В таблице указаны значения x: 1, 2, 3, 4 и y: 5, 10, 15, 20. Нужно определить, является ли зависимость прямой пропорциональностью, и записать формулу. Сравним не разности соседних значений, а отношения y/x, потому что именно их постоянство служит нужным признаком.
Ответ: зависимость является прямой пропорциональностью; y = 5x.
Задача 3. За первые 2 часа поезд прошёл 120 км, а за следующие 2 часа — 160 км. Можно ли считать движение равномерным на всём пути? Равные промежутки времени позволяют прямо сравнить пройденные расстояния: для равномерного движения приращения пути за них должны совпадать. Найдём путь на каждом из двух отрезков времени.
Ответ: движение нельзя считать равномерным на всём пути по данным промежуткам: за равные 2 часа поезд проходил разные расстояния.
Ошибка — считать любой равномерный процесс прямой пропорциональностью. Так происходит, потому что оба понятия описывают устойчивое изменение величин, но проверяют разные признаки. Например, y = 2x + 3 равномерно меняется по приращениям, однако y/x не постоянно. Проверьте себя: для пропорциональности вычислите отношения, а не только разности.
Нельзя проверять прямую пропорциональность только по разностям соседних значений. Одинаковые разности показывают постоянные приращения и могут встретиться у зависимости, которая не имеет вида y = kx. Разделите каждое y на соответствующее x и сравните результаты. Если они различаются, прямой пропорциональности нет.
В формуле y = kx коэффициент k должен быть одним и тем же для всех пар. Иногда его находят по одной строке и не сверяют остальные, поэтому неподходящую зависимость принимают за пропорциональную. Подставьте в отношение y/x несколько пар из таблицы. Разные значения отношения означают, что единого коэффициента нет.
При подстановке нельзя забывать о смысле величин и единицах. Например, скорость получится в километрах в час, если расстояние задано в километрах, а время — в часах. При переходе к другим единицам числовое значение коэффициента может измениться. Проверьте единицы в формуле и убедитесь, что ответ подходит к условию.
Для работы с зависимостями нужно уметь читать таблицы, находить разность и отношение чисел, выполнять умножение и деление. Эти действия помогают проверять постоянство приращений и вычислять коэффициент пропорциональности. Позже понятие зависимости пригодится при изучении функций, графиков и описании движения. Прямая пропорциональность встречается в задачах на цену и количество, скорость и время, масштаб и расстояние, если условия соответствуют такой зависимости.
Чем равномерный процесс отличается от прямой пропорциональности?
Для равномерного процесса при равных шагах аргумента одинаковы приращения зависимой величины. При прямой пропорциональности одинаковым остаётся отношение y к x. Это разные признаки, поэтому один процесс не обязательно обладает обоими.
Как по таблице понять, что зависимость является прямой пропорциональностью?
Для каждой пары значений x и y вычислите отношение y/x. Если x не равен нулю и во всех строках получается одно и то же число, зависимость можно записать как y = kx.
Как найти коэффициент пропорциональности?
Разделите значение y на соответствующее ему значение x: k = y/x. Для прямой пропорциональности результат будет одинаковым для любой пары значений.
Может ли равномерный процесс не быть прямой пропорциональностью?
Да. Например, при зависимости y = 2x + 3 величина y увеличивается на 2 при каждом увеличении x на 1, но отношение y/x меняется. Значит, процесс равномерный по приращениям, но зависимость не является прямой пропорциональностью.
Как записать формулой зависимость величин, если известна одна пара их значений?
Если известно, что зависимость прямо пропорциональна, найдите k, разделив известное y на x. Затем подставьте число в формулу y = kx. Одна пара задаёт коэффициент, но сама по себе не доказывает, что зависимость пропорциональная.
Равномерные и неравномерные процессы. Прямая пропорциональная зависимость величин
