"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г.
Круглые числа — это числа, запись которых заканчивается нулями: 20, 300, 2400. Чтобы умножить на такое число, его удобно представить как произведение ненулевой части и разрядной единицы: например, 300 = 3 · 100. Сначала умножают на ненулевую часть, затем учитывают разрядную единицу. Так проще выполнять вычисления письменно и проверять, верно ли поставлены нули, особенно когда они есть в обоих множителях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглое число — натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. Например, 70 оканчивается одним нулём, а 2400 — двумя. Эти нули показывают, что число содержит целое количество десятков, сотен или более крупных разрядных единиц.
Разрядная единица — это единица, десяток, сотня, тысяча и далее: 1, 10, 100, 1000. При умножении на 10 каждая единица данного числа становится десятком, при умножении на 100 — сотней. Это помогает понять, почему меняется значение цифр, а не просто внешний вид записи.
Множитель — число, на которое умножают другое число; в записи 36 · 20 число 20 — множитель. Круглый множитель можно представить как ненулевую часть, умноженную на разрядную единицу: 20 = 2 · 10. Такое представление превращает вычисление в более знакомое умножение на небольшое число и отдельный учёт разряда.
Произведение — результат умножения. Чтобы найти его при умножении на круглое число, сначала умножают на ненулевую часть множителя, а затем учитывают разрядную единицу. Это позволяет вычислить основу ответа и не потерять нули, обозначающие разряд результата.
Круглое число удобно разложить на множители. Например, 40 = 4 · 10, потому что четыре десятка составляют сорок; 300 = 3 · 100, потому что три сотни составляют триста. Ненулевая часть сообщает, сколько разрядных единиц взято, а нули показывают размер этих единиц. Такое разложение объясняет, из каких действий состоит умножение.
Допустим, нужно умножить число a на произведение b · c. По сочетательному свойству множители можно сгруппировать так: a · (b · c) = (a · b) · c. Поэтому при умножении на круглое число сначала находят произведение с его ненулевой частью, а после умножают полученное число на разрядную единицу. Например, для 36 · 20 сначала считают 36 · 2, а затем результат умножают на 10.
Умножение на 10, 100 или 1000 увеличивает значение числа в десять, сто или тысячу раз. Поэтому единицы переходят в десятки, десятки — в сотни и так далее: каждая цифра занимает место на один, два или три разряда левее. В записи целого числа это обычно выглядит как добавление одного, двух или трёх нулей справа. Нули не просто передвигают: они обозначают новые разрядные единицы и сохраняют увеличенное значение числа.
При письменном умножении на круглое число сначала выполняют умножение на ненулевую часть. Например, при умножении на 400 сначала умножают на 4, не считая конечные два нуля. Потом учитывают множитель 100 и записывают ответ с учётом двух разрядных единиц. Так запись проще, а промежуточное вычисление не загромождается нулями.
Если круглые числа стоят в обоих множителях, важно учитывать разрядные единицы каждого из них. Например, в 20 · 300 ненулевые части — 2 и 3, а разрядные единицы — 10 и 100. Сначала 2 · 3 = 6, затем учитывают 10 · 100 = 1000, поэтому ответ равен 6000. Оценка помогает проверить, что результат не оказался меньше ожидаемого: 20 · 300 должно быть больше и 20, и 300.
| Множитель | Представление множителя | Действие | Пример |
|---|---|---|---|
| 10, 100, 1000 | Разрядная единица | Увеличить число в 10, 100 или 1000 раз | 26 · 100 = 2600 |
| Число с одним нулём на конце, например 30 | 3 · 10 | Умножить на 3, затем учесть 10 | 18 · 30 = 18 · 3 · 10 = 540 |
| Число с несколькими нулями на конце, например 2400 | 24 · 100 | Умножить на 24, затем учесть 100 | 15 · 2400 = 15 · 24 · 100 = 36 000 |
| Круглые числа в обоих множителях | Ненулевые части и обе разрядные единицы | Перемножить ненулевые части, затем учесть разряды | 20 · 300 = 2 · 3 · 10 · 100 = 6000 |
Сначала найди строку, которая соответствует множителю или обоим множителям. Затем отдели ненулевую часть от разрядной единицы и выполни действия по порядку. В конце оцени размер ответа и проверь, что все разрядные единицы учтены.
Задача 1. Вычисли 36 · 20. Число 20 состоит из двух десятков, то есть 20 = 2 · 10. Удобно сначала найти, сколько получится при умножении 36 на 2, а потом увеличить результат в десять раз. Так мы не пытаемся умножать сразу на конечный ноль.
Ответ: 720. Проверка: 36 · 20 должно быть больше, чем 36 · 10 = 360; результат 720 подходит.
Задача 2. Вычисли письменно 248 · 300. В числе 300 две разрядные единицы: 300 = 3 · 100. Значит, сначала нужно умножить 248 на 3, а уже затем учесть увеличение в сто раз. При таком порядке ясно, почему в результате будут два нуля после вычисления ненулевой части.
Ответ: 74 400. В письменной записи сначала выполняют умножение на 3, а два нуля учитывают после него, поскольку 300 содержит множитель 100.
Задача 3. Для школьной библиотеки купили 24 коробки по 120 тетрадей в каждой. Сколько тетрадей купили? Чтобы узнать общее количество, нужно число тетрадей в одной коробке умножить на число коробок. Разложим 120 как 12 · 10: так можно сначала посчитать 24 · 12 и лишь потом учесть один десяток. Оценка заранее подсказывает, что ответ должен быть примерно 24 · 100, то есть около 2400.
Ответ: купили 2880 тетрадей. Проверка оценкой: 120 немного больше 100, поэтому произведение должно быть немного больше 24 · 100 = 2400; число 2880 этому соответствует.
Иногда к результату приписывают все нули, замеченные в множителях, не вычисляя ненулевые части. Так теряется основа произведения: например, в 20 · 300 недостаточно написать нули, нужно ещё умножить 2 на 3. Сначала найди произведение ненулевых частей, потом учти разрядные единицы; проверка оценкой покажет, достаточно ли велик ответ.
При письменном умножении на 30 или 400 некоторые начинают умножать на конечный ноль. Это происходит, когда цифра 0 воспринимается как отдельное действие, хотя множитель раскладывается на 3 · 10 или 4 · 100. Умножай сначала на 3 или 4, а затем учитывай разрядную единицу; полезно проговорить разложение множителя перед вычислением.
Можно забыть один ноль круглого множителя или приписать лишний. Обычно так случается, если нули записывают механически, не связывая их с 10, 100 или 1000. Проверь разложение множителя и оцени порядок результата: умножение на 100 увеличивает число в сто раз, а не в десять и не в тысячу.
Ещё одна ошибка — думать, что при умножении на 10 или 100 цифры просто перемещаются в записи и значение не меняется. На самом деле каждая цифра переходит в более высокий разряд, поэтому значение числа увеличивается. Чтобы проверить себя, сравни ответ с исходным числом: после умножения на 100 он должен быть в сто раз больше.
Для этой темы пригодятся таблица умножения, умение разбирать многозначные числа по разрядам и свойства умножения. Разложение круглого множителя использует сочетательное свойство, а запись ответа опирается на знания о единицах, десятках, сотнях и тысячах. Освоенный способ помогает при письменном умножении многозначных чисел.
Умножение на круглые числа встречается в задачах на цену, количество и стоимость: например, когда известна цена одной вещи и нужно найти стоимость большого количества. Тема также связана с делением на 10, 100 и другие разрядные единицы. Понимание разрядов помогает не только выполнять действия, но и объяснять, почему изменяется значение числа.
Почему при умножении на 30 сначала умножают на 3?
Потому что 30 = 3 · 10. Сначала находят произведение с 3, а затем умножают его на 10, то есть увеличивают значение в десять раз.
Сколько нулей нужно приписать к результату?
Если умножаемое число не оканчивается нулями, при умножении на 10, 100 или 1000 к результату добавляют соответственно один, два или три нуля. Для других круглых множителей сначала перемножают ненулевые части, а затем учитывают нули разрядной единицы; нули, уже получившиеся в произведении, тоже нужно учесть.
Как умножить число на 200 или 4000?
Представь множитель как ненулевую часть, умноженную на разрядную единицу: 200 = 2 · 100, 4000 = 4 · 1000. Сначала умножь число на 2 или 4, затем учти умножение на 100 или 1000.
Что делать, если нули есть в обоих множителях?
Умножь ненулевые части множителей, а затем учти разрядные единицы обоих чисел. Проверь, что произведение достаточно велико: например, 20 · 300 = 2 · 3 · 10 · 100 = 60 000.
Как проверить, правильно ли учтены нули?
Оцени порядок величины: при умножении на 100 результат должен быть в сто раз больше исходного числа. Затем проверь произведение ненулевых частей и разрядную единицу, на которую умножал. Если ответ слишком мал или велик, вероятно, потерян или добавлен ноль.
Умножение на числа, оканчивающиеся нулями
